第15讲 导数与函数的单调性（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第15讲导数与函数的单调性（精讲）题型目录一览①导数与原函数图像之间的联系②不含参数的函数单调性③含参数的函数单调性（1）一次函数型（2）二次函数型Ⅰ（可因式分解）（3）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）（4）指数函数型④函数单调性中的参数值（范围）问题★【文末附录-导数与函数的单调性思维导图】一、单调性基础问题1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()yfx在某个区间内可导，如果()0fx，则()yfx为增函数；如果()0fx，则()yfx为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()fx在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递增；②若()fx在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递减．二、讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已一、知识点梳理知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；【常用结论】①使()0fx的离散点不影响函数的单调性，即当()fx在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()fx在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)上，3()fxx，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，而显然3()fxx在(,)上是单调递增函数.②若函数()yfx在区间(,)ab上单调递增，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立.因为()0fx，即()0fx或()0fx，当()0fx时，函数()yfx在区间(,)ab上单调递增.当()0fx时，()fx在这个区间为常值函数；同理，若函数()yfx在区间(,)ab上单调递减，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0fx()fx单调递增；()fx单调递增()0fx；()0fx()fx单调递减；()fx单调递减()0fx.题型一导数与原函数图像之间的联系策略方法原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()fx单调递增导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0fx）；原函数单调递减导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0fx）.【典例1】已知函数yxfx的图象如图所示（其中fx是函数fx的导函数），则yfx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由yxfx的图象得到fx的取值情况，即可得到fx的单调性，即可判断.【详解】由yxfx的图象可知当01x时0xfx，则0fx，当1x时0xfx，则()0fx¢，二、题型分类精讲当10x时0xfx，则0fx，当1x时0xfx，则()0fx¢，所以fx在,1上单调递增，在1,0上单调递减，在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数yfx的导函数yfx的图象，若20f，则yfx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据导函数的图象在区间(0,1)内的函数的范围，判断出函数yfx区间(0,1)上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数()yfx的单调性，再结合四个选项可得答案.【详解】由()yfx的图象可知，当01x时，0()1fx，则在区间(0,1)上，函数()yfx上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，对于A，在区间(0,1)上，函数()yfx上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间(0,1)上，函数()yfx上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间(0,1)上，函数()yfx上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由()yfx的图象可知，当01x时，0()1fx，当13x时，()0fx，当3x时，()0fx，所以函数()yfx上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,)上单调递增，而函数()yfx的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数fx的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当0x时，()0fx¢，函数fx单调递增；当02x时，0fx，函数fx单调递减；当2x时，()0fx¢，函数fx单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]上的函数fx的大致图像如图所示，()fx是fx的导函数，则不等式0xfx的解集为（）A．5(2,1)1,2B．(3,2)C．5(1,0)1,2D．(3,4)【答案】C【分析】分0x、0x两种情况求解即可.【详解】若0x，则0,fxfx单调递减，图像可知，1,0x，若0x，则0,fxfx单调递增，由图像可知51,2x，故不等式0xfx的解集为51,01,2．故选：C二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的导函数yfx的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．12fxfxB．32fxfxC．fx在区间,ab内有2个极值点D．fx的图象在点0x处的切线的斜率大于0【答案】ACD【分析】根据导函数的正负可得fx单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C正确；由00f可知D正确.【详解】由图象可知：当35,,xaxxb时，()0fx¢；当35,xxx时，0fx；()fx\在3,ax，5,xb上单调递增；在35,xx上单调递减；对于A，123xxx，12fxfx，A正确；对于B，23xx，23fxfx，B错误；对于C，由极值点定义可知：3xx为fx的极大值点；5xx为fx的极小值点，即fx在区间,ab内有2个极值点，C正确；对于D，当0x时，()0fx¢，()fx\在点0x处的切线的斜率大于0，D正确.故选：ACD.三、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）函数()fx的图象如图所示，记1()Afx、2()Bfx、3()Cfx，则A、B、C最大的是________.【答案】A【分析】根据导数的几何意义结合()fx的图象分析判断即可【详解】根据导数的几何意义，1fx、2fx、3fx分别为123,,xxx处的切线斜率，又1x与3x处的切线单调递增，2x处的切线单调递减，且1x处的切线比3x处的切线更陡峭，∴2310fxfxfx，故最大为1fx.故答案为：A6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在()3,3上的奇函数()yfx的导函数是()fx，当0x时，()yfx的图象如图所示，则关于x的不等式()0fxx的解集为______.【答案】3,10,1【分析】先判断出fx的单调性，然后求得()0fxx的解集.【详解】依题意fx是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，fx在区间3,1,1,3,fx递减，'0fx；fx在区间1,0,0,1,fx递增，'0fx.所以()0fxx的解集3,10,1.故答案为：3,10,1题型二不含参数的函数单调性策略方法求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．【典例1】函数21ln2fxxx的单调递增区间为（）A．1,1B．1,C．0,1D．0,2【答案】B【分析】求出导函数()fx，在定义域内解不等式()0fx可得单调递增区间．【详解】由已知得111(0)xxfxxxxx，令(1)(1)()0xxfxx，则1x，∴函数fx的单调递增区间为1,．故选：B．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数2()4ln23fxxxx的单调递减区间是（）A．(1,)B．(2,1)C．(0,1)D．(,2)和(1,)【答案】C【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.【详解】函数2()4ln23fxxxx的定义域为(0,)，求导得42(2)(1)()22xxfxxxx，由()0fx得01x，所以函数2()4ln23fxxxx的单调递减区间是(0,1).故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知32()69fxxxxabc，abc，且0fafbfc，现给出如下结论：①03ff；②010ff；③130ff；④22218abc．其中正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.【详解】求导函数可得2()31293(1)(3)fxxxxx当13x时，()0fx；当1x，或3x时，()0fx所以()fx的单调递增区间为(,1)和(3,)单调递减区间为(1,3)所以()fx极大值1f1694abcabc，()fx极小值3f275427abcabc要使()0fx有三个解a、b、c，那么结合函数()