第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第16讲导数与函数的极值、最值（精讲）题型目录一览①求函数的极值与极值点②极值、极值点中的参数问题③求函数的最值④最值中的参数问题⑤函数极值、最值的综合应用★【文末附录-导数与函数的极值、最值思维导图】1．函数的极值函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极大值，记作0()yfx极大值．如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极小值，记作0()yfx极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x为极值点．求可导函数()fx极值的一般步骤（1）先确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的根；（4）检验()fx在方程()0fx的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()yfx在这个根处取得极小值.注①可导函数()fx在点0x处取得极值的充要条件是：0x是导函数的变号零点，即0()0fx，且在0x左侧与右侧，()fx的符号导号.②0()0fx是0x为极值点的既不充分也不必要条件，如3()fxx，(0)0f，但00x不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()fxx，在极小值点00x是不可导的，于是有如下结论：0x为可导函数()fx的极值点0()0fx；但0()0fx0x为()fx的极值点.一、知识点梳理2．函数的最值函数()yfx最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()fx最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设()yfx是定义在[]mn，上的函数，()yfx在()mn，内有导数，求函数()yfx在[]mn，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()yfx在()mn，内的极值（极大值或极小值）；（2）将()yfx的各极值与()fm和()fn比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数fx在区间D上存在最小值minfx和最大值maxfx，则不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；（2）若函数fx在区间Ｄ上存在最小值minfx和最大值maxfx，即,fxmn，则对不等式有解问题有以下结论：不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解minafx；不等式afx在区间D上有解minafx；（3）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（4）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（5）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（6）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（7）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212maxminfxgxfxgx；（8）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212minmaxfxgxfxgx；（9）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212minmaxfxgxfxgx（10）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxminfxgxfxgx．题型一求函数的极值与极值点策略方法利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】已知函数1exafxx，求函数fx的极值.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）二、题型分类精讲A．fbfafcB．函数fx在x＝c处取得最大值，在ex处取得最小值C．函数fx在x＝c处取得极大值，在ex处取得极小值D．函数fx的最小值为fd2．（2023·广西·统考模拟预测）函数3fxxax在1x处取得极小值，则极小值为（）A．1B．2C．2D．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnbfxaxx的极值点为1，且()21f¢=，则fx的极小值为（）A．1B．aC．bD．44．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数32295ffxxxx，则fx的极大值为（）A．-3B．1C．27D．-55．（2023·四川·高三专题练习）函数212e2xyxxx的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1sin2fxxx，其中0,2πx，则下列说法正确的有（）A．fx的极大值为π332B．fx的极小值为2π332C．fx的单调减区间为2π,2π3D．fx的值域为0,π7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数2()e2e12xxfxx，则下列说法正确的是（）A．曲线()yfx在0x处的切线与直线120xy垂直B．()fx在(2,)上单调递增C．()fx的极小值为312ln3D．()fx在2,1上的最小值为312ln3三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）函数23ln2fxxx的极大值点为___________.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()elnxafxx在x＝1处取得极值，则函数2singxaxx的一个极大值点为______．10．（2023·全国·高三专题练习）已知32()69fxxxxabc，abc，且0fafbfc，现给出如下结论：①()1fx；②()3fx；③010ff；④030ff；⑤4abc．其中正确结论的序号是__．四、解答题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)exfxxax．(1)若3a，求函数()fx在区间[2,2]上的值域；(2)求函数()fx的极值．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)lnfxaxaxxx．(1)设a＝0．①求曲线yfx在点1,1f处的切线方程．②试问fx有极大值还是极小值？并说明理由．(2)若fx在0,e上恰有两个零点，求a的取值范围．题型二极值、极值点中的参数问题【典例1】已知函数2()(21)lnfxaxaxx，Ra．(1)若函数fx在x＝1处取得极值，求a的值．(2)讨论函数fx的单调区间．【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当1x时，函数lnbfxaxx取得最大值2，则(4)f（）A．1B．38C．38D．12．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若2lnfxaxbxx在1x和2x处有极值，则函数fx的单调递增区间是（）A．,1B．2,C．1,2D．1,123．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数32()(6)fxxaxax无极值，则a的取值范围为（）A．[3,6]B．(3,6)C．(,3][6,)D．(,3)(6,)4．（2023·四川凉山·三模）已知函数fx的导函数213gxxxxa，若1不是函数fx的极值点，则实数a的值为（）．A．－1B．0C．1D．25．（2023·全国·模拟预测）已知函数()321132fxaxbxcxd=+++的极值点为1和2，且fx在1,2上单调递增，则25cab的最小值为（）A．4B．10C．5D．256．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数π2sin(0)3fxx，π3是fx的一个极值点，则的最小值为（）A．12B．1C．2D．72二、多选题7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数3220fxxbxcxbb在=1x处有极值，且极值为8，则（）A．fx有三个零点B．bcC．曲线yfx在点22f,处的切线方程为340xyD．函数2yfx为奇函数8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数22e22xfxxaxaxa，若fx有两个不同的极值点1212,xxxx，且当20xx时恒有2fxa，则a的可能取值有（）A．2eaB．e4aC．e2aD．2e3a三、填空题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数82lnfxxmx的极小值为2，则m______10．（2023·全国·高三专题练习）若31mxxfxx在1,上存在极值，则数m的取值范围为_____．11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数2()e(R)xfxaxa有两个极值点1x，2x，且122xx，则a______.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数21e,xfxaxbxabR，若1x是fx的极小值点，则a的取值范围是__________.四、解答题13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数1ln1Rfxxaxax(1)若1a，求函数fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程；(2)若0a，函数fx在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数234()(21)e13xfxxax在区间(0,)上有两个极值点1x，2x．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：1222112eexxa．15．（2023·全国·高三专题练习）设函数3231132afxxxax，其中a为实数．(1)已知函数fx在1x处取得极值，求a的值；(2)已知不等式221fxxxa对0,1x都成立，求实数a的取值范围．题型三求函数的最值策略方法1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【典例1】已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间0,e上的最大值为－3，求a的值．【题型训练】一、单选题1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知1x为函数ln2afxxxx的极值点，则fx在区间1,22上的最大值为（）（注：ln20.69）A．3B．7ln2C．5D．11ln222．（2023·江西南昌·统