第37讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第37讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）题型目录一览①直线的倾斜角与斜率②直线的方程③直线过定点的问题④两直线的夹角公式一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜角，通常用，，，表示（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0（2）倾斜角的取值范围[0)，2．直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank（1）当2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率k的关系当0k时，直线平行于轴或与轴重合；一、知识点梳理当0k时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当0k时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；3．过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，Axy，22()，Bxy则2121yykxx（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12xx，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4．三点共线．两直线，ABAC的斜率相等→、、ABC三点共线；反过来，、、ABC三点共线，则直线，ABAC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1．直线的截距若直线l与坐标轴分别交于(0)(0)，，，ab，则称，ab分别为直线l的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2．直线方程的五种形式【常用结论】1.求曲线（或直线）方程的方法在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，名称方程适用范围点斜式11yykxx不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx不含直线112()xxxx和直线112()yyyy截距式1xyab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式220(0)AxByCAB平面直角坐标系内的直线都适用或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）2．线段中点坐标公式若点12，PP的坐标分别为1122()()，，，xyxy且线段12PP的中点M的坐标为()，xy，则121222xxxyyy，此公式为线段12PP的中点坐标公式．3．两直线的夹角公式若直线11ykxb与直线22ykxb的夹角为，则2112tan1kkkk.题型一直线的倾斜角与斜率数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【典例1】已知点1,2A，2,3B，1,0P，点Q是线段AB上的动点．(1)求直线PQ的斜率的范围；(2)求直线PQ的倾斜角的范围．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）直线33yx的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．1502．（2023·全国·高三专题练习）如图，若直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则（）二、题型分类精讲A．132kkkB．312kkkC．123kkkD．321kkk3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线30xmy的倾斜角为30，则实数m的值为（）A．3B．33C．1D．324．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若直线2yx的倾斜角为，则sin2（）A．12B．35C．45D．15．（2023·全国·高三专题练习）函数321()3fxxx的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（）A．3π0,4B．π3π0,,π24C．3π,π4D．π3π,246．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点,Pxy是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx的最小值为（）A．23B．32C．43D．1二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程121121yyxxxxyy表示．8．（2023·全国·高三专题练习）已知1B，直线l的方程为10xBy，则直线l的倾斜角可能为（）A．0B．π7C．π2D．6π7三、填空题9．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考开学考试）过2,,4PmQm､两点的直线的倾斜角为45，那么m.10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:2130laxaya在x轴上的截距的取值范围是3,3，则其斜率的取值范围是．题型二直线的方程策略方法求直线方程的两种方法【典例1】根据条件写出下列直线的方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在x轴上的截距是2；(3)倾斜角是直线31yx的倾斜角的一半，且过点3,2．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）过点1,2且方向向量为()1,2-的直线的方程为（）A．240xyB．30xyC．230xyD．230xy2．（2023·全国·高三专题练习）过点1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．30xyB．50xyC．40xy或50xyD．40xy或30xy3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线20xyt经过点()2,1-，则该直线在y轴上的截距为（）A．12B．12C．2D．24．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）若直线2mxny过点2,2A，其中m，n是正实数，则12mn的最小值是（）A．32B．322C．92D．5二、填空题5．（2023·高三课时练习）经过点3,1和点2,2的直线方程是.6．（2023·高三课时练习）第二、四象限角平分线所在直线的方程是.7．（2023·全国·高三专题练习）若过两点(),6Am-，(1,3)Bm的直线的斜率为12，则直线的方程为．8．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）求过点2,3P，并且在两轴上的截距相等的直线方程．9．（2023·全国·高三专题练习）已知1()()()(16210364)21ABCD,、,、,、,中的三个点在直线lykxm：上，则mk．题型三直线过定点的问题策略方法合并参数是解决问题的关键点【典例1】已知直线l的方程为：211740mxmym(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线1l，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求1l的方程．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）直线13kxyk，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A．0,0B．0,1C．3,1D．2,12．（2023·全国·高三专题练习）直线1120axay恒过定点（）A．1,1B．()1,1-C．1,1D．1,13．（2023·全国·高三专题练习）若,1,kb三个数成等差数列，则直线ykxb必经过定点（）A．()1,2-B．1,2C．()1,2-D．1,24．（2023·全国·高三专题练习）直线(21)(1)740mxmym恒过定点（）A．(1,3)B．(3,1)C．(3,1)D．(1,3)5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1:0lkxy过定点A，直线2:220lxkyk过定点B，1l与2l的交点为C，则ACBC的最大值（）A．26B．25C．4D．236．（2023·全国·高三专题练习）已知点1,0A，2,0B与直线:0lmxymmR，若在直线l上存在点P，使得2PAPB，则实数m的取值范围是（）A．33,33B．33,,33C．3,3D．,33,二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线(3)(2)0mnxmnyn则当,mn变化时，直线都通过定点8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:2130laxaya在x轴上的截距的取值范围是3,3，则其斜率的取值范围是．9．（2023·全国·高三专题练习）已知点1,1,2,2PQ，若直线:l0xmym与PQ的延长线（有方向）相交，则m的取值范围为．10．（2023·全国·高三专题练习）已知点1,1A，设动直线0xny和动直线420nxynnR交于点P，则PA的取值范围是．题型四两直线间夹角的问题策略方法若直线11ykxb与直线22ykxb的夹角为，则2112tan1kkkk.【典例1】已知两条直线1:0lyx，2:lyax，其中aR，当这两条直线的夹角在0,12内变化时，求a的取值范围．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1:30lxy与直线2:10lkxy，若直线1l与直线2l的夹角是60°，则k的值为（）A．3或0B．3或0C．3D．3二、填空题2．（2023·高三课时练习）若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32o和152则1l与2l的夹角为.3．（2023·高三课时练习）已知直线220xy和10mxy的夹角为4，那么m的值为.