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第1节集合考试要求1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,能在自然语言、图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.2.注意空集:空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.()(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.2.(易错题)已知集合A={y|y=x2},B={x|y=x+1},则A∩B=()A.[0,+∞)B.[-1,+∞)C.[-1,0]D.(-1,0)答案A解析易知A=[0,+∞),B=[-1,+∞),故A∩B=[0,+∞).3.(易错题)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为()A.1B.-32C.1或-32D.-1或32答案B解析当m+2=3时,m=1,此时,m+2=2m2+m=1,故舍去;当2m2+m=3时,解得m=-32(m=1舍去).4.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2x4},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案B解析因为A={x|-2x4},B={2,3,4,5},所以A∩B={2,3},故选B.5.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=()A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}答案B解析由题设可得∁UB={1,5,6},故A∩(∁UB)={1,6}.6.若集合A,B,U满足ABU,则U=()A.A∪(∁UB)B.B∪(∁UA)C.A∩(∁UB)D.B∩(∁UA)答案B解析由题意,ABU,作出韦恩图如图所示,所以B∪(∁UA)=U,故选B.考点一集合的基本概念1.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6答案C解析A∩B={(x,y)|x+y=8,x,y∈N*,且y≥x}={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)}.2.已知集合A=x|x∈Z,且32-x∈Z,则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5答案C解析∵32-x∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4,故选C.3.设集合A={-1,0,1,2,3,4},B={x|x∈A且2x∈A},则集合B为________.答案{0,1,2}解析由题意知,∵0∈A且2×0∈A,1∈A且2×1∈A,2∈A且2×2∈A,故B={0,1,2}.4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,则a2023+b2024=________.答案0解析由题意知a≠0,因为{1,a+b,a}=0,ba,b.所以a+b=0,则ba=-1,所以a=-1,b=1.故a2023+b2024=-1+1=0.感悟提升1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},集合B={x||x-1|≤3},集合C=x|x-4x+5≤0,则集合A,B,C的关系为()A.B⊆AB.A=BC.C⊆BD.A⊆C答案D解析因为x2-2x-3≤0,即(x-3)·(x+1)≤0,所以-1≤x≤3,则A=[-1,3];又|x-1|≤3,即-3≤x-1≤3,所以-2≤x≤4,则B=[-2,4];因为x-4x+5≤0,所以-5<x≤4,则C=(-5,4],所以A⊆B,A⊆C,B⊆C.故选D.(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.答案(-∞,3]解析∵B⊆A,∴若B=∅,则2m-1<m+1,解得m<2;若B≠∅,则2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为(-∞,3].感悟提升1.若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.训练1(1)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.答案4解析由题意,可得A={1,2},B={1,2,3,4}.又∵A⊆C⊆B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},共4个.(2)若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B⊆A,则实数m的取值范围为________.答案[-2,2)解析若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,符合题意;若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B=2,12,不符合题意.综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).考点三集合的运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.∅B.SC.TD.Z答案C解析法一在集合T中,令n=k(k∈Z),则t=4n+1=2(2k)+1(k∈Z),而集合S中,s=2n+1(n∈Z),所以必有T⊆S,所以S∩T=T,故选C.法二S={…,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-3,1,5,…},观察可知,T⊆S,所以S∩T=T,故选C.(2)设全集为R,集合A={y|y=2x,x<1},B={x|y=x2-1},则A∩(∁RB)=()A.{x|-1<x<2}B.{x|0<x<1}C.∅D.{x|0<x<2}答案B解析由题意知A={y|0<y<2},B={x|x≤-1或x≥1},所以∁RB={x|-1<x<1},所以A∩(∁RB)={x|0<x<1},故选B.(3)集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R.若M∩(∁UN)=∅,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]答案B解析易得M={x|2x2-x-1<0}=x|-12<x<1.∵N={x|2x+a>0}=x|x>-a2,∴∁UN=x|x≤-a2.由M∩(∁UN)=∅,则-a2≤-12,得a≥1.感悟提升1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用:(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.训练2(1)(多选)(2022·潍坊质检)已知集合A={x|-1<x≤3},集合B={x||x|≤2},则下列关系式正确的是()A.A∩B=∅B.A∪B={x|-2≤x≤3}C.A∪∁RB={x|x≤-1或x>2}D.A∩∁RB={x|2<x≤3}答案BD解析∵A={x|-1<x≤3},B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-1<x≤2},A错误;A∪B={x|-2≤x≤3},B正确;∵∁RB={x|x<-2或x>2},∴A∪∁RB={x|x<-2或x>-1},C错误;A∩∁RB={x|2<x≤3},D正确.(2)(2021·邯郸二模)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4]答案C解析集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=x|x>m2,∵A∩B中有三个元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4.Venn图的应用在部分有限集中,我们经常遇到元素个数的问题,常用Venn图表示两个集合的交、并、补集,借助于Venn图解决集合问题,直观简捷,事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数,即Card(A)表示有限集A的元素个数.例(1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选C.(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.答案8解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.1.(2021·重庆三模)若集合A={x∈N|(x-3)(
本文标题:第1节 集合
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