单元提升卷06 解三角形（解析版）

单元提升卷06解三角形（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知ABC中，π2,23,3abB，则角A的值是（）A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3【答案】A【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.【详解】由正弦定理可得：sinsinabAB，则223πsinsin3A，解得：1sin2A，则π6A或5π6A，因为ba，所以BA，所以π6A.故选：A.2．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,60abcB且ABC的面积为3，若6ca，则b（）A．26B．5C．27D．30【答案】A【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b.【详解】因为ABC的面积为3，故113sin3222acBac，故4ac，又2222222cos3361224bacacBacacacac，故26b，故选：A.3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若222sinsinsin3sinsinBCABC，则角A的大小为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】D【分析】根据给定条件结合正、余弦定理求出cosA即可得解.【详解】在ABC中，由正弦定理进行角换边得2223bcabc，再由余弦定理得2222233cos222bcaabcaAbcbc，而0πA，所以5π6A.故选：D.4．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，222coscoscossinsin1ABCBC，若1a，则ABC外接圆的面积是（）A．3B．2C．D．4【答案】A【分析】由题意，根据同角三角函数的关系、正弦定理可得222bcabc，代入余弦定理可求得角A，根据正弦定理，可求得外接圆半径R，即可得答案.【详解】因为222coscoscossinsin1ABCBC，所以2221sin1sin1sinsinsin1ABCBC，整理得222sinsinsinsinsinBCABC，由正弦定理得222bcabc，由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc，因为0,A，所以3A，由正弦定理得ABC外接圆的直径12232sin33sin3aRA，所以ABC外接圆的面积23SR.故选：A.5．已知在ABC中，ax，23b，30B，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．23xB．2343xC．023xD．23x【答案】B【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得1232BCbCDaa，即可求解.【详解】由23ACb，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为23的圆与BA有两个交点，过C作CDAB，则1sinsin2CDBCBaBa，要使以C为圆心，半径为23的圆与BA有两个交点，则需要1232BCbCDaa，解得a的取值范围是2343a．故选：B．6．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，下列结论错误的是（）A．若sinsinAB，则abB．若30,2,2Bbc，则符合条件的三角形有2个C．若sin2sin2AB，则abD．若△ABC的面积22234Sbca，则π3A【答案】C【分析】对于A,利用正弦定理即可求解；对于B，利用正弦定理及大边对大角即可求解；对于C，利用已知条件及诱导公式即可求解；对于D，利用余弦定理及三角形的面积公式,结合同角三角函数的商数关系即可求解.【详解】对于A，由sinsinAB及正弦定理，得22abRR,所以ab，故A正确；对于B，由题意及正弦定理得22sin30sinCo,所以2sin2C,因为cb，所以CB,所以45C或135C，即符合条件的三角形有2个，故B正确；对于C，由sin2sin2AB，得22AB或22πAB，所以AB或π2AB，所以ab或π2AB，故C错误；对于D，由22234Sbca，得13sin2cos24bcAbcA，所以tan3A，由于0,πA，所以π3A，故D正确.故选：C.7．ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cosacB，coscos2cbBCc，则ABC的形状是（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由coscos2cbBCc利用正弦定理边角互换可得2ac，代入2cosacB可得B，然后利用余弦定理代入2cosacB可得bc，然后可得答案.【详解】因为2cosacB，所以22222acbacac，整理得bc，又coscos2cbBCc，所以sincossincos2sinCBBCC，即sin()sin2sinBCAC，即2ac，又2cosacB，所以22cosccB，得2cos2B，因为(0,π)B，所以π4B，所以π4C，π2A，故ABC为等腰直角三角形.故选：D8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足223sin3cos2caBCab，则bc的取值范围为（）．A．1,22B．1,2C．3,22D．3,2【答案】A【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得3sin.2A，进而求得π3A，再把bc化为sinsin()sincoscossin31sinsinsin2tan2BACACACCCCC，结合ππ,62C即可求解.【详解】22223sin3cos,2sin23cos332caBCabBabCcaab，2222222222sin3323cos32cos3abBcaabCcaabCcaabc,即2222sin3,2sinsin3sinabBbABB，π0,2B，sin0B，3sin.2Aππ10,,,cos232AAA，sinsin()sincoscossin31sinsinsin2tan2bBACACACcCCCC，ππ2ππππ0,,0,,0,,,223262BCCC，311tan,,(0,3),,23tan2bCCc.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知3,4ab，锐角C满足15sin4C，则（）A．ABC的面稘为315B．1cos4CC．19cD．19cos19B【答案】BC【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误.【详解】在ABC中，因为3,4ab，且15sin4C，由三角形的面积公式，可得1115315sin342242ABCSabC，所以A错误；由C为锐角，且15sin4C，可得21cos1sin4CC，所以B正确；由余弦定理得22212cos916234194cababC，可得19c，所以C正确；由余弦定理得22291916219cos2192319acbBac，所以D不正确.故选：BC.10．在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，则能确定B为钝角的是（）A．222sinsinsinACBB．0BCABC．coscAbD．0tantan1AC【答案】ACD【分析】选项A，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得cos0B；选项B，由||||cos0ABBCABBCB，可得cos0B；选项C，利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得cos0B；选项D，根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得cos0B.【详解】选项A，由正弦定理及222sinsinsinACB，知222acb，由余弦定理得，222cos02acbBac，由0,πB，所以B为钝角，即选项A正确；选项B，||||cos(π)||||cos0ABBCABBCBABBCB，则cos0B，显然B不可能为钝角，即选项B错误；选项C，由正弦定理及coscAb，得sincossinCAB，由0,πB，sin0B，所以sinsincosCBA，又sinsinsincoscossinCABABAB，所以sincos0AB，由0,πA，sin0A，所以cos0B，由0,πB，所以B为钝角，即选项C正确；选项D，由0tantan1AC，知sinsin01coscosACAC，由0,πA，0,πC，则sinsin0AC，有coscos0AC所以coscossinsin0ACAC，即coscos0ACB，所以cos0B，由0,πB，所以B为钝角，即选项D正确.故选：ACD.11．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）A．B的最小值为3B．cos()cos1cos2ACBBC．111tantansinACBD．ba的取值范围为510,2【答案】BC【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.【详解】因为a，b，c成等比数列，所以2bac，则222221cos222acbacacBacac，∴03B，max3B，A错．对选项B，cos()coscoscossinsin(coscossinsin)ACBACACACAC22sinsin2sin1cos2ACBB，B对．对于选项C，211coscossincossincossin1tantansinsinsinsinsinsinACCAACBACACACBB，C对．对于选项D，令bqa，则cqb，∴b＝aq，2caq，∴222aaqaqaaqaqaqaqa，∴151522q，D错．故选：BC12．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得100mCDCE，75BAD，120AEC，200mAE，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（）A．200mADB．ADC△的面积为210003mC．1006mABD．点A在点C的北偏西30方向上【答案】AC【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；对于A，先求出60ADB，120ADC，45B，再根据2222cos120ACAECEAECE，2222cos120ACCDADADCD，即可判断；对于B，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；对于C，在ABD△中，由正弦定理sininsABADADBB，即可判断；对于D，过点A作AGBC于点G，易知30DAG，即可判断．【详解】对于A，因为75BAD，点B位于点