专题突破卷22求圆的最值与范围（解析版）

专题突破卷22求圆的最值与范围1.斜率型1．若实数x，y满足22414450xyxy＋－－＋＝，则下列关于32yx的最值的判断正确的是（）A．最大值为2＋3，最小值为—2－3B．最大值为2＋3，最小值为2－3C．最大值为－2＋3，最小值为－2－3D．最大值为—2＋3，最小值为2－3【答案】B【分析】根据几何意义，把32yx可看作圆上任意一点,Pxy与定点2,3Q连线的斜率，利用几何法求最值.【详解】22414450xyxy＋－－＋＝可化为22278xy＋＝.32yx可看作圆上任意一点,Pxy与定点2,3Q连线的斜率.记32ykx，则23ykxk，记为直线l.当直线与圆22278xy＋＝相切时，k可以取得最值.此时圆心到直线的距离22237221kkdk，解得：23k.所以323232yx.故选：B.2．已知实数x和y满足22(2)1xy，则yx的范围是.【答案】33,33【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.【详解】由yx，即00yx--，则yx可表示,xy与0,0连线的斜率，作图如下：则,xy与0,0连线与圆相切时，yx取得最值，设ykx，则ykx代入22(2)1xy，整理可得221430kxx，由直线与圆相切，则Δ0，即2161210k，解得33k，故33,33yx.故答案为：33,33.3．若实数x、y满足条件221xy，则21yx的范围是.【答案】3(,]4【分析】21yx的几何意义即圆上的点,xy到定点()1,2-的斜率，求得斜率的取值范围即可.【详解】21yx的几何意义即圆上的点,xy到定点()1,2-的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为(1)22ykxkxk，2|2|11kk，解得34k，故21yx的范围是3(,]4故答案为：3(,]4.4．求函数2213xyx的最值.【答案】max1y，min334y.【分析】由题联想直线的斜率公式，2213xx可看作点(3,2)A与动点2,1Bxx的连线的斜率，即转化为解析几何中的问题.【详解】∵2213xx可看作点(3,2)A与动点2,1Bxx的连线的斜率，而点B在半圆221xy（0y…）上故原题即求点(3,2)A与半圆221xy（0y…）上的点的连线的斜率的最值，如图可知，当B为1(1,0)B时，AB斜率最大为max1k；当AB切半圆于2B时，AB的斜率最小，设此时AB的斜率为k，AB的方程为2(3)ykx，由22|23|11kOBk，得1334k（舍去），2334k.故max1y，min334y.5．已知圆M过点1,1,1,1CD，且圆心M在直线-20xy上.（1）求圆M的方程；（2）点,Pxy为圆M上任意一点，求12yx的最值.【答案】（1）22(1)(1)4xy；（2）最大值为125，最小值为0【分析】（1）由1,1,1,1CD，求出CD的垂直平分线方程，与直线20xy联立求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）12yx可以看成是点2,1A与,Pxy连线的斜率k，直线AP的方程为12ykx，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时的k的值，从而可得结果.【详解】（1）由1,1,1,1CD，得CD中点为0,0，1CDk，所以CD的垂直平分线为yx联立,20yxxy，得11xy，则1,1M，圆M的半径为2r，所以圆M的方程为22114xy（2）12yx可以看成是点2,1A与,Pxy连线的斜率k直线AP的方程为12ykx，即210ykxk当直线AP为圆的切线时，有2|23|21kk，解得1205kk或所以12yx的最大值为125，最小值为0【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、以及直线与圆的位置关系，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标,xy，根据题意列出关于,xy的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.6．已知圆2246120xyxy(1)求过点A3,5的圆的切线方程；(2)点(,)Pxy为圆上任意一点，求yx的最值．【答案】(1)3x和34110xy(2)yx的最大值为6233；yx的最小值为6233-【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；(2)本题首先可明确yx为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果．【详解】(1)因为圆的方程为2246120xyxy，即()()22231xy-+-=，所以圆心为2,3C，半径为1r，①当切线斜率不存在时，因为直线过点A3,5，所以直线方程为3x，即30x圆心到直线距离1dr==，所以直线3x是圆的切线，②当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为53ykx，即350kxyk--+=因为圆心到切线距离等于半径，所以2233511kkrk--+==+，解得34k，此时切线方程为34110xy，综上所述，过点A3,5的圆的切线方程为3x和34110xy．(2)因为yx即00yx--，(,)Pxy为圆上任意一点，所以yx即原点到圆上一点的直线的斜率，令ykx，则原点到圆上一点的直线的方程为ykx，即0kxy-=如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，则有圆心到切线距离等于半径，即22311kk-=+，解得6233k+=或6233-，所以斜率的最大值max6233k+=，斜率的最小min6233k-=，所以yx的最大值为6233；yx的最小值为6233-．【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质，若圆与直线相切，则圆心到直线线距离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题．2.距离型7．已知点,Pxy是圆22:2320Cxyy上一点，则31xy的范围是．【答案】[2,6]【分析】求出圆心和半径，而31xy表示圆上的点到直线310xy的距离的2倍，所以求出圆到直线310xy的距离，从而可求得结果.【详解】由222320xyy，得22(3)1xy，所以圆心(0,3)C，半径为1，31xy表示圆上的点到直线310xy的距离的2倍，因为圆心(0,3)C到直线310xy的距离为31213d，所以圆上的点到直线310xy的距离的最小值为1，最大值为3，所以31xy的最小值为2，最大值为6，所以31xy的范围为[2,6]，故答案为：[2,6].8．已知点P(m，n)在圆22:229Cxy上运动，则2221mn的最大值为，最小值为，22mn的范围为．【答案】644[322,322]【分析】将问题转化为在圆C上点到(2,1)距离的平方、到原点的距离范围，结合点圆关系确定最值和范围.【详解】由圆C的圆心为(2,2)，半径为3，且P在圆C上，则2221mn表示在圆C上点到(2,1)距离的平方，而圆心到(2,1)的距离为22[2(2)][2(1)]53，所以在圆C上点到(2,1)距离的最大值为8，最小值为2，故2221mn的最大值为64，最小值为4；又22mn表示在圆C上点到原点的距离，而圆心到原点距离为223，所以22mn的范围为[322,322].故答案为：64，4，[322,322]9．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求x2＋y2的最值.【答案】最大值94，最小值14.【分析】根据x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，先求得原点到圆心距离，进而得到圆上的点到坐标原点的最大距离和最小距离，再平方即可.【详解】如图所示：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1-12＝12，所以x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.10．若圆:C22()()2xayb与两条直线yx和yx都有公共点，则22ab的范围是（）A．2,4B．0,4C．4,D．2,【答案】B【分析】根据有公共交点得到2224aabb和2224aabb，相加得到答案.【详解】圆:C22()()2xayb与两条直线yx和yx都有公共点2222242ababaabb；2222242ababaabb；两式相加得到2204ab故选：B【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.11．已知线段AB的端点B的坐标是4,3，端点A在圆2214xy上运动，线段AB的中点为M.（1）求M的轨迹方程；（2）若,Pxy为M的轨迹上的任意一点，求1xy的最值.【答案】（1）2233122xy；（2）max122xy，min122xy【解析】（1）设(,)Mxy，表示出A坐标，利用相关点法代入求解即可；（2）1xy为圆上的点,Pxy到直线10xy的距离22121211xydxy的2倍，再利用点到线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出圆上的点到直线的距离的最值，从而求出1xy的取值范围.【详解】解：（1）设线段AB中点为(,)Mxy，则24,23Axy因为点A在圆2214xy上，所以22241234xy整理可得2233122xy所求轨迹方程为：2233122xy，可见，M的轨迹是以33,22为圆心，半径为1的圆．（2）1xy为圆上的点,Pxy到直线10xy的距离22121211xydxy的2倍，因为圆心为33,22到直线10xy的距离2233122211d则圆上的点到直线的距离的最小值为21，最大值为21故122,22xy即max122xy，min122xy【点睛】本题考查相关点法求动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.12．若圆C：22()()2xayb与两条直线yx和yx都有公共点，则22ab的范围是.【答案】[0,4]【分析】由已知得圆C的圆心坐标(,)Cab，半径2r，要使圆C与两直线yx和yx都有公共点，需圆心C到两直线的距离212,2dd，得出关于,ab的不等式组2222abab，作出不等式组所表示的可行域，由22ab的几何意义可知表示点(,)ab到原点的距离的平方，可得22ab的取值范围.【详解】由题意，圆C：22()()2xayb的圆心坐标(,)Cab，半径2r，因为圆C与两直线yx和yx都有公共