专题突破卷17 数列求和（解析版）

专题突破卷17数列求和1.分组求和法1．已知正项数列na的前n项和nnSAqB其中A，B，q为常数．(1)若0AB，求证：数列na是等比数列；(2)在（1）的条件下，若121,4nnaaa，求数列nna的前10项和10T．【答案】(1)证明见解析(2)1078【分析】（1）由,nnSa的关系及等比数列的定义进行证明即可；（2）先由24nnaa求得2q=，又11a，即得12nna，再由分组求和法求解即可.【详解】（1）因为0AB，所以nnSAqA，当2n时，11nnSAqA，则1111nnnnnnaSSAqAAqAAqq，当1n时，111aSAqAAq，也符合上式，所以11nnaAqq，由正项数列na，可得0q且1q，0A,又11nnAqqa，则1nnaqa，故数列na是以1Aq为首项，q为公比的等比数列；（2）因为数列na为等比数列，由24nnaa可得24q，又正项数列na可得0q，则2q=，又11a，则12nna，所以109101101012(1210)1221078212T.2．已知等比数列na满足11a，48a．(1)求数列na的通项公式；(2)若2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nS．【答案】(1)12nna(2)(1)212nnn【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求解即可；（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可．【详解】（1）设等比数列na的公比为q，由已知，得33418aaqq，解得2q=，1112nnnaaq；（2）由（1）得12nna，11122log221nnnnbn，01212222(0121)nnSn0212(01)122nnn(1)212nnn.3．在数列1,Nnann中，12a，1431nnaan．(1)证明数列nan是等比数列；(2)求数列na的前n项和nS；【答案】(1)见解析(2)14132nnnnS【分析】（1）由题意构造数列nan，再利用等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出na，再由分组求和法求解.【详解】（1）因为1431nnaan，所以114nnanan，所以114nnanan，所以数列nan是以111a为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）知，14nnan，所以14nnan.01214444123nnSn11144114232nnnnnn.4．已知数列na中，111,21nnaaa.(1)证明：数列1na为等比数列，并求数列na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析，21nna(2)122nnSn【分析】（1）利用等比数列的定义证明，可得1na的通项公式，进而得数列na的通项公式；（2）利用分组求和可求解.【详解】（1）由121nnaa可得112(1)nnaa,即1121nnaa，所以1na是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以12nna，所以21nna.（2）12312321212121nnnSaaaa1232122222111112nnn122nn.5．已知数列na和nb满足：11a，12b，12133nnnaab，12133nnnbba，其中nN．(1)求证：113nnnaa；(2)求数列na的前n项和nS．【答案】(1)证明见解析(2)13312443nnnS【分析】（1）由已知条件可推导出数列nnab为常数列，数列nnab为等比数列，求出这两个数列的通项公式，可求得数列na的通项公式，即可证得113nnnaa成立；（2）由（1）可得出数列na的通项公式，利用分组求和法可求得nS.【详解】（1）证明：因为12133nnnaab①，12133nnnbba②，①②可得11nnnnabab，且113ab，所以，数列nnab为常数列，且3nnab③，①②可得1113nnnnabab，且111ab，所以，数列nnab为等比数列，且该数列的首项为1，公比为13，所以，113nnnab④，③④可得11233nna，则1311223nna，所以，1113113111111122322323233nnnnnnnaa.（2）解：由（1）可知，1311223nna，则0121311311311311223223223223nnS0121111131111133312312233332244313nnnnnn.6．已知nS为等差数列na的前n项和，63219SS，1121a．(1)求数列na的通项公式；(2)设1(2)1000nnab，求数列nb的前15项和15T．【答案】(1)21nan(2)66490【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，163633232121211111636332921212aaSaaaaSaa，且1121a，3263a，321123211aad，111101aad，1(1)21naandn．（2）由（1）可知10002,19,2100021000,1015,nnnnnbn其中*nN．故nb的前15项和为1291015151000210002100022100021000T1291011153000222222191062122123000664901212．2.并项求和法7．已知数列na的前n项和为,21cosπnnSann，则2023S（）A．1012B．1012C．2023D．2023【答案】D【分析】根据数列的递推公式得到1234202120222,2,,2aaaaaa，然后求和即可求解.【详解】因为数列na的前n项和为nS，且(21)cosπnann，则1cosπ1a，23cos2π3a，35cos3π5a，47cos4π7a，所以122aa，342aa，依次类推，562aa，L，202120222aa，202322023114045a所以2023123420222023Saaaaaa1234202120222023()()()aaaaaaa1011240452023.故选：D.8．已知数列na满足122naanan，数列nb满足11N,2mmmbbmma.(1)求na的通项公式；(2)求nb的前20项和.【答案】(1)1nan(2)110【分析】（1）利用退一作差法求得na.（2）利用分组求和法求得nb的前20项和.【详解】（1）因为122naanan，所以当2n时，121211naanan，两式相减得11,nnnaan，又1n时，11a，也符合.所以1nan.（2）由（1）知，1nna=，因为对任意的正整数2m，有11mmmbbma，故数列nb的前20项和1234920bbbbbb1234920bbbbbb2420111aaa2420220101102.9．已知数列na的前n项和为,(1)(21)nnnSan，则2023S（）A．1012B．1012C．2023D．2023【答案】D【分析】根据数列na的通项公式，可求得12342,2aaaa，依此类推，即可求解.【详解】∵(1)(21)nnan，故12341,3,5,7aaaa12342,2aaaa故12342320021202220232Saaaaaaa202321011202240452023a.故选：D.10．已知等比数列na的前n项和为nS，若46315,9SSS.(1)求数列na的通项公式；(2)若22(1)lognnnba，求数列nb的前21n+项和21nT.【答案】(1)12nna(2)2121nTn【分析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列na的通项公式；（2）代入12nna可得22(1)log(1)21nnnnban，再分n的奇偶求和即可.【详解】（1）设na的公比为q，由题意可知639SS，6338SSS，36338SSqS，解得2q=，代入415S可得111124815aaaa，解得11a.所以数列na的通项公式为12nna.（2）22(1)log(1)21nnnnban，故211357...2211nTn，2122...24124121nTnnnn11．记nS为等差数列na的前n项和，已知238aa，525S.(1)求na的通项公式；(2)记1nnnbS，求数列nb的前30项的和30T.【答案】(1)21nan(2)465【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出1a和d，可得通项公式；（2）先求出nS，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设公差为d，则1112851025adadad，解得11a，2d，所以1(1)2nan21n.（2）2(121)2nnnSn，所以2(1)(1)nnnnbnS，所以2222223012342930T21124334302929301234293030(130)4652.12．在等比数列na中，748aa，且212a，34a，412a成等差数列．(1)求na的通项公式；(2)设21lognnnba，数列nb的前n项和为nT，求满足20kT的k的值．【答案】(1)12nna；(2)40或37．【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.（2）由（1）的结论求出nb，再分奇偶求和作答.【详解】（1）设na的公比为q，由748