9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（学生版）

9.1直线方程与圆的方程（精讲）一．直线的斜率与倾斜角1.直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．二．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用三．直线的位置关系1．两条直线的平行与垂直(1)两条直线平行若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2．(2)两条直线垂直设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是说，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．四．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2五．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心C：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F六．有关圆的位置关系1.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．2．直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜rd＝rd＞r代数法：由Ax＋By＋C＝0，（x－a）2＋（y－b）2＝r2消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜03.圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒内切或外切；Δ＜0⇒内含或外离Ｗ.一．斜率的求法1.定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；2.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．二．倾斜角及斜率取值范围的两种求法1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．三．求圆的方程的两种方法1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．2.待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．四．判断直线与圆的位置关系的方法1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ0，那么直线与圆相交．五．圆的切线方程1.过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.3.过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.4．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知点1,3,2,1AB.若直线:21lykx与线段AB相交,则k的取值范围是（）A．12kB．2kC．12k或2kD．122k【例1-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数321()3fxxx的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（）A．3π0,4B．π3π0,,π24C．3π,π4D．π3π,24【例1-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知直线30xmy的倾斜角为30，则实数m的值为（）A．3B．33C．1D．32【一隅三反】1．（2023·黑龙江哈尔滨）设点3(2,)A､(3,2)B，若直线l过点(1,1)P且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．34k或4kB．34k或14kC．344kD．344k2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列na中，263,11aa，直线l过点*,,,,,mnMmaNnamnmnN，则直线l的斜率为（）A．2B．2C．4D．4考点二直线方程【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）过点1,2且方向向量为()1,2-的直线的方程为（）A．240xyB．30xyC．230xyD．230xy【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）过点1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．30xyB．50xyC．40xy或50xyD．40xy或30xy【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线1:240lxy和2:20lxy的交点为P，则过点P且与直线3:3450xly垂直的直线l的方程为（）A．4360xyB．4360xyC．3460xyD．3460xy2．（2023·全国·高三专题练习）已知(2,3),(3,0)AB两点，则线段AB的中垂线的方程为.3（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－3），且它的倾斜角等于直线x－3y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；4．（2023·全国·高三专题练习）过点(1,4)A且与直线2350xy平行的直线方程为.考点三两条直线的位置关系【例3-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线1l：210xy与直线2l：20axy平行，则a（）A．12B．12C．2D．2【例3-2】（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知,ab挝RR，则“直线210axy与直线1210axay垂直”是“0a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件，【一隅三反】1．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线2eaxy在点0,1处的切线与直线210xy垂直，则a的值为（）A．14B．12C．12D．12．（2023·全国·高三专题练习）若直线(32)(14)80axay与(52)(4)70axay垂直，则a.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1:260laxy和直线22:(1)10lxaya，若12ll//，则a考点四三种距离【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线2210xy，20xy之间的距离是.【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）点0,0，3,4到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）当点2,3M到直线411210mxmym的距离取得最大值时，m（）A．2B．47C．2D．42．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线1l：324220Rxy，2l：1yx，则1l与2l间的距离为.3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点0,1到直线2ykx的距离的最大值是．考点五圆的方程【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知ABC的三个顶点为1,2,2,1,3,4ABC，则下列关于ABC的外接圆圆M的说法正确的是（）A．圆M的圆心坐标为1,3B．圆M的半径为5C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点2,3在圆M内【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点1,2P在圆C：222410xykxyk的外部，则k的取值范围是（）A．21kB．12kC．2kD．22k【一隅三反】1．（2023秋·云南临沧·）已知半径为3的圆C的圆心与点2,1P关于直线10xy对称，则圆C的标准方程为（）A．22(1)(1)9xyB．22(1)(1)81xyC．22(1)9xyD．229xy2．（2023春·重庆沙坪坝·）在平面直角坐标系xOy中，已知10,2P、24,4P两点，若圆M以12PP为直径，则圆M的标准方程为（）A．22235xyB．22235xyC．22145xyD．22145xy3．（2023·宁夏银川）已知直线31xy经过圆22()()1xmyn的圆心，其中0mn，则31mn的最小值为（）A．7B．8C．9D．12考点六直线与圆的位置关系【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆C：22(1)(2)25xy，直线l：(21)(1)740mxmym，则下