7.5 空间几何的外接球（精讲）（学生版）

7.5空间几何的外接球（精讲）考点一汉堡模型【例1】（2023春·重庆）设直三棱柱111ABCABC-的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为20π，3ABBCAC，则此直三棱柱的高是（）A．1B．2C．22D．4【一隅三反】1．（2023春·安徽宣城）在三棱锥PABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且4PA，则三棱锥PABC的外接球表面积为．2．（2023春·广东韶关）三棱锥PABC中,PA平面ABC,4PA,π3BAC,3BC,则三棱锥PABC外接球的体积是．3．（2023春·江苏扬州）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AB，直线1AC与平面ABCD所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为.考法二墙角模型【例2】（2023春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．50π3B．25πC．50πD．125π【一隅三反】1．（2023春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．29πB．32πC．58πD．30π2．（2023春·贵州黔东南）在三棱锥PABC中，PA平面π,23,2,2ABCPAACABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π3．（2023春·广东深圳）如图，在长方体ABCDABCD中，四边形ABBA是边长为1的正方形，7AD，则该长方体的外接球表面积是（）A．3π2B．9π2C．36πD．9π考法三斗笠模型【例3-1】（2023春·北京海淀）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）A．48πB．24πC．12πD．6π【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（）A．23B．932C．3316D．32【一隅三反】1．（2023春·江西）在正四棱锥PABCD中，8,410ABPA，若该棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．800πB．400πC．200πD．50π2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36，则该正三棱锥体积的最大值为___________.3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A．323B．6C．6D．823考点四L模型【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，2BE，N为AF的中点，23EMEF，则三棱锥MBNC外接球的表面积为（）A．25π3B．13π3C．25π12D．103π3【一隅三反】1．（2023春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且3SD，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（）A．43B．203C．12πD．60π2．（2023秋·四川泸州已知三棱锥SABC的底面ABC是正三角形，侧面SAC底面ABC，且90ACS，30SAC，若该三棱锥的外接球的表面积为60π，则AB的值为（）A．3B．4C．6D．83．（2023春·广东广州）已知三棱锥SABC所在顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，若2,120SCABACBAC，则球O的体积为（）A．205π3B．32π3C．20π3D．325π3考点五棱台外接球【例5】（2023春·黑龙江）（多选）已知四棱台1111ABCDABCD上下底面均为正方形，其中22AB，112AB，1112AABBCC，则下述正确的是（）A．该四棱台的高为3B．该四棱台外接球的表面积为16πC．1AA与1CC所在直线的夹角为π3D．该四棱棱台的表面积为26【一隅三反】1．（2023秋·湖北）在正三棱台111ABCABC-中，侧棱长均为23，侧棱1AA与底面所成的角60°，112ABAB，则该三棱台的外接球的体积＝.2．（2023春·黑龙江绥化）正四棱楼台的上、下底面的面积分别为22cm，28cm，若该正四棱台的体积为314cm，则其外接球的表面积为2cm．3．（2023春·广东广州）在正四棱台1111ABCDABCD中，上、下底面边长分别为32、42，该正四棱台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为100π，则该正四棱台的高为．考点六最值【例6】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥PABC中，PAAB，PA平面ABC，π2ABC，6ABBC，则三棱锥PABC外接球体积的最小值为（）A．86πB．166πC．246πD．326π【一隅三反】1．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）在正三棱柱111ABCABC-中，3AB，点D在棱BC上运动，若1ADDB的最小值为13，则三棱柱111ABCABC-的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．20πD．32π2．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥ABCD，AC平面BCD，BDCD.若1BD，球O表面积为9π.则三棱锥ABCD体积最大值为（）A．1B．23C．32D．52