6.4 求和方法（精练）（学生版）

6.4求和方法（精练）1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：acbdabccdb.已知数列na的通项公式为222232nannnn，则其前9项的和9S等于（）A．13280B．20196C．20232D．295202．（2023·全国·高三专题练习）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德6364124221粒米，这是一个天文数字.100年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算64个格子一共能得到（）粒米.A．6221B．6321C．62262D．632633．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若1nnaa是公差不为零的等差数列，则称数列na为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L，则第40层放小球的个数为（）A．1640B．1560C．820D．7804．（2023·安徽淮南·统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式：22221211236nnnn）A．4，11B．5，12C．6，13D．7，145．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100L的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101nnan，则12100...aaa（）A．98B．99C．100D．1016．（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项251,262521,26nnnann，则1251...aaa（）A．48B．49C．50D．517．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放na个物体堆成的堆垛，则122022111aaa______．8．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数2()22xxfx，设数列na满足121(0)(1)Nnnafffffnnnn，若12nnnba，则nb的前n项和nS_________．9．（2023·全国·高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么1nkkS______2dm.10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）正项数列na中，11a，23a，1na的前n项和为nS，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．①21(21)kakk，2(21),Nkakkk；②81na为等差数列；③(1)nnS为等差数列，试完成下面两个问题：(1)求na的通项公式；(2)求证：2nnSan．11．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列na的前n项和为nS，且11a，2218nnSSn．(1)求nS；(2)在数列na的每相邻两项ka、1ka之间依次插入1a、2a、L、ka，得到数列1:nba、1a、2a、1a、2a、3a、1a、2a、3a、4a、L，求nb的前20项和20T．12．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列na满足*1121,,Nnnnaaana．(1)证明21nnaa是等比数列；(2)若31nnba，求nb的前n项和nS．13．（2023·辽宁辽阳·统考二模）在①21nnSna，②1112nnnSnSn这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列na的前n项和为1,1nSa，且__________．(1)求na的通项公式；(2)若11nnnanbna，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为86,64,11nSSa.(1)求数列na的通项公式；(2)设数列14nnnSaa的前n项和为*nTnN，求nT的通项公式.15．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）设nT为数列na的前n项积．已知112nnnnaaTT．(1)求na的通项公式；(2)求数列23nTn的前n项和．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知数列na的首项11a，且满足1323nnnaa.(1)求证：数列3nna是等差数列；(2)若数列nb满足19nnnnbaa，求数列1nb的前n项和nS.17．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在公差不为零的等差数列na中，12a且1a，3a，11a成等比数列．(1)求通项公式na；(2)令212nnnbaa，求数列nb的前n项和nS；18．（2023·山东烟台·统考三模）已知数列11,1,11nnnaanana．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足1πsincosπ2nnnbaa，求数列nb的前2n项和2nT19．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知数列na满足213a，(1)求数列na的通项公式；(2)设1311,log,nnnnnabana为奇数为偶数，求数列nb的前40项和.20．（2023·陕西西安·校考模拟预测）正项数列na的前n项和为nS，已知221nnnaSa．(1)求证：数列2nS为等差数列，并求出nS，na；(2)若(1)nnnba，求数列nb的前2023项和2023T．21．（2023·重庆万州·统考模拟预测）在①314nnSa；②11a，13nS与na都是等比数列；③341nnS，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知数列na的前n项和为nS，且______．(1)求数列na的通项公式；(2)若22nnbna，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知数列na的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足5mn的任意正整数m，n，均有mnmnaaa成立．(1)求数列na的通项公式；(2)令212nnnaba，求数列nb的前n项和nT．23．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，1114,2()2nnaSannN.(1)求证：数列1na为等比数列，并求出数列na的通项公式;(2)若，求数列nb的前n项和nT.从①321(1)log(1)nnnbaa和②2223132(1)(265)log(1)log(1)nnnnnnbaa这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.24．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知na为正项等差数列，nb为正项等比数列，其中2113,aba，且23,1aa，53a成等比数列，12313bbb．(1)求,nnab的通项公式；(2)求数列nnab的前n项和．25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知数列lnna为等差数列，且5228aa，25678aaa.(1)求数列na的通项公式；(2)求数列nna的前n项和nT.26．（2023·全国·统考高考真题）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna的前n项和nT．27．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列na的前n项和为nS，已知11a，且数列23nnSa是公比为13的等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)若1213nnbn