5.4 正余弦定理（精讲）（学生版）

5.4正余弦定理（精讲）一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形边化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化边：sinA＝a2RsinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosC＝a2＋b2－c22ab二．三角形常用面积公式1.S＝12a·ha(ha表示边a上的高)．2.S＝12absinC＝12acsin_B＝12bcsin_A．3.S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．三．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盘点易错易混1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的选用1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面积问题1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；2.若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一常见的边角互换模型【例1-1】（2023春·湖南）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22()bcabc，若3a，则ABC外接圆的半径长为（）A．3B．1C．2D．12【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，设22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC，2sin2sin0AB，则sinC（）A．12B．32C．624D．6+24【例1-4】（2022·重庆）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，记ABC外接圆半径为R，且222sinsin(2)sinRABacC，则角B的大小为________．【一隅三反】1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2232abbc，sin22sinCB，则A＝（）A．5π6B．3π4C．2π3D．7π122．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则c＝（）A．4B．6C．22D．233．（2023春·福建南平）（多选）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知coscos2BbCac，334ABCS△，且3b，则（）A．1cos2BB．3cos2BC．3acD．23ac4．（2023·四川）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3tantan0coscABaB，则A=（）A．π6B．π4C．π3D．2π3考法二三角形的周长与面积【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a，3sin2A，4coscosacbAC，则ABC的面积为______.【例2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin2tancBacC．(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC中点，13BD，求ABC的周长．【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSac，若2sin2sinaCA，226acb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（）A．32B．3C．12D．12．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中3tan24C，C为钝角，且cos2cosbABa.(1)求角B的大小；(2)若ABC的面积为6，求ABC的周长.3．（2023·湖北武汉·统考三模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1132ACABABBCBCCA.(1)求角A；(2)若2b，求ABC的面积.考法三三角形的中线与角平分线【例3-1】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知31cossinbBaA.(1)求B.(2)若2a，1c，___________，求BD.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例3-2】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知,,abc为ABC的内角,,ABC所对的边，向量(sinsin,sinsin)mCBBA,(,)ncba，且mn．(1)求C；(2)若2a，ABC的面积为23，且2ADDB，求线段CD的长．【一隅三反】1．（2023·全国·统考高考真题）在ABC中，2AB，60,6BACBC，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD_________．2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且π2cossincos06CBA.(1)求角C的大小；(2)若ACB的平分线交AB于点D，且2CD，2BDAD，求ABC的面积.3.（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2sincoscoscosbAacCAC．(1)求角A的大小；(2)若sin2sin3BC，BC边上的中线17AM，求ABC的面积．考法四三角形中的取值范围【例4-1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为a，b，c，且1b，coscosAaBa，则（）A．ππ64AB．ππ63AC．ππ43AD．ππ42A【例4-2】（2023·江西上饶·统考二模）在ABC中，π,26ABC，则3ACAB的最小值（）A．-4B．3C．2D．23【例4-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在ABC中，若sin2coscosABC，则22coscosBC的最大值为______．【例4-4】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，且_____．在①23SABAC，②22cos1cos22BCA；③3sincoscaCcA这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．(1)求A；(2)若3bc，点D是BC边的中点，求线段AD长的取值范围．【一隅三反】1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4c，π3A，则a的取值范围为（）A．0,43B．2,43C．23,43D．0,232．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，3B，B的平分线交AC于D，若3BD，则2ac的最小值为____.3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin1cossincocossin2s2CCBCCB．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且2AD，求ABC面积的最小值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大小；(2)若7c，求ABC的周长的取值范围.5．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a，且sinsinsinABbcCba．(1)求ABC的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围．考法五三角形解的个数【例5】（2023春·江苏连云港）由下列条件解ABC，其中有两解的是（）A．20b，45A，80CB．30a，28c，60BC．14a，16c，45AD．6a，10c，60A【一隅三反】1．（2023春·重庆）ABC中，,,abc是角,,ABC的对边，23,2,30bcC，则此三角形有（）A．一个解B．2个解C．无解D．解的个数不确定2．（2023·贵州·统考模拟预测）ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，60A，3a.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（）A．32bB．32bC．123bD．12b3．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是：（）①1sin2A②1cos3A；③1cos,34Bba；④45,2,3Cbc.A．①②B．②③C．②④D．②③④考法六正余弦定理在几何中应用【例6-1】（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在ABC中，π82,6ACC，点D在边BC上，1cos3ADB．(1)求AD的长；(2)若ABD△的面积为82，求AB的长．【例6-2】（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD，ACAD，3AEEB，5DE.(1)求ADB的面积；(2)求sinBAC的值及EC的长度..【一隅三反】1．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，过点A作ADAB，交线段BC于点D，且ADDC，3a，sinsinsinsinbCaAbBcC.(1)求BAC；(2)求ABC的面积.2．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若33cosacbC，求角B的余弦值大小；(2)已知3b、π3B，若D为ABC外接圆劣弧AC上一点，求ADC△周长的最大值.3．（2023·广东惠州·统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如