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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 4.3 利用导数求极值与最值(精讲)(学生版)
4.3利用导数求极值与最值(精讲)一.函数的极值1.定义满足条件极小值点与极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值极大值点与极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值极值与极值点极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点2.求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③确定f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.二.函数的最值1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间端点处取得.2.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.一.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.二.根据函数极值求参数1.列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.2.验证:求解后验证根的合理性.注意:对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.三.导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤1.求函数f(x)的导数f′(x);2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值;3.求f(x)在给定区间上的端点值;4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.四.恒成立问题向最值转化的方法1.要使不等式f(x)h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max,只要hf(x)max,则不等式f(x)h恒成立;2.要使不等式f(x)h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)minh,则不等式f(x)h恒成立.考法一利用导数求函数的极值或极值点【例1-1】(2023春·新疆)函数3()32fxxx有()A.极小值0,极大值2B.极小值1,极大值4C.极小值1,极大值3D.极小值0,极大值4【例1-2】(2023春·湖北武汉)设函数fx在R上可导,其导函数为fx,且函数gxxfx的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.fx有三个极值点B.2f为函数的极大值C.fx有一个极大值D.1f为fx的极小值【一隅三反】1.(2023春·湖南)已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0),则fx的()A.极小值0,极大值12B.极小值12,极大值0C.极小值0,极大值12D.极小值12,极大值02.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)已知定义在区间,ab上的函数fx的导函数为fx,fx的图象如图所示,则()A.fx在4,xb上有增也有减B.fx有2个极小值点C.45fxfxD.fx有1个极大值点3.(2023春·天津武清)已知函数fx的导函数fx的图象如图所示,则下列判断正确的是()A.fx在区间1,1上单调递增B.fx在区间2,0上单调递增C.1为fx的极小值点D.2为fx的极大值点考法二已知极值(点)求参数【例2-1】(2023春·吉林)已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0),则fx的()A.极小值0,极大值12B.极小值12,极大值0C.极小值0,极大值12D.极小值12,极大值0【例2-2】(2023春·内蒙古)已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0),则fx的()A.极小值0,极大值12B.极小值12,极大值0C.极小值0,极大值12D.极小值12,极大值0【例2-3】.(2023·全国·统考高考真题)(多选)若函数2ln0bcfxaxaxx既有极大值也有极小值,则().A.0bcB.0abC.280bacD.0ac【一隅三反】1.(2023春·海南)已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0),则fx的()A.极小值0,极大值12B.极小值12,极大值0C.极小值0,极大值12D.极小值12,极大值02.(2023·辽宁)已知函数fx的导数(1)()fxaxxa,若fx在=1x处取到极大值,则a的取值范围是__________.3.(2023春·黑龙江)已知函数2fxxxc在2x处有极大值,则c______.考法三利用导数求函数的最值【例3】(2023春·云南)函数33()fxxx在区间(0,)上的最小值是()A.4B.5C.3D.1【一隅三反】1.(2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测)函数sin22sinyxx的最大值为__________.2.(2023春·湖北)已知函数211()ln22fxxxxax的图象与直线=2y相切.(1)求a的值;(2)求函数()fx在区间1,22上的最大值.3.(2023春·重庆永川)设32()39.fxxxxa(1)求函数fx的单调递增区间;(2)若函数fx的极大值为10,求函数fx在22,上的最小值.考法四已知最值求函数的参数【例4-1】(2023春·吉林长春)若函数3()3fxxx在2(,8)aa上有最小值,则实数a的取值范围是_____.【例4-2】(2023春·新疆)已知yfx是奇函数,当0,2x时,1ln2fxxaxa,当2,0x时,fx的最小值为1,则a的值等于()【例4-3】(2023·甘肃金昌)已知函数323fxxaxx在R上单调递增,且2agxxx在区间1,2上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围是()A.3,4B.2,3C.3,4D.2,3【一隅三反】1.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数()()exfxaxb在12x时取得最值2e,则()fx图象在点(0,(0))f处的切线方程为()A.30xyB.30xyC.230xyD.230xy2.(2023春·山东聊城·高二山东省聊城第三中学校考期中)若函数3212()33fxxx在区间(1a,5a)内存在最小值,则实数a的取值范围是()A.[-5,1)B.(-5,1)C.[-2,1)D.(-2,1)3.(2023·陕西宝鸡·校考模拟预测)当1x时,函数lnbfxaxx取得最大值2,则(4)f()A.1B.38C.38D.1考法五极值最值综合运用【例5-1】(2023春·上海松江)函数yfx的导函数yfx的图像如图所示,给出下列命题:①3是函数yfx的极小值点;②1是函数yfx的最小值点;③yfx在区间3,1上严格增;④yfx在32x处切线的斜率小于零.以上所有正确命题的序号是__________.【例5-2】(2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模)(多选)已知函数eexxfx,fx为fx的导函数,则()A.fx的最小值为2B.fx在,单调递增C.直线1eeyx与曲线yfx相切D.直线2yx与曲线yfx相切【例5-3】(2023春·吉林)已知函数322fxxaxb(1)当3a时,求fx的极值;(2)讨论fx的单调性;(3)若0a,求fx在区间0,1的最小值.【一隅三反】1.(2023春·北京海淀)已知函数3239fxxxxm在区间,n的极小值也是最小值,则n的取值范围是________.2.(2023春·上海松江)函数yfx的导函数yfx的图像如图所示,给出下列命题:①3是函数yfx的极小值点;②1是函数yfx的最小值点;③yfx在区间3,1上严格增;④yfx在32x处切线的斜率小于零.以上所有正确命题的序号是__________.3.(2023·广东广州)已知函数lnxaxfxx,aR.讨论函数fx在区间20,e上的最大值;
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