3.4 对数运算及对数函数（精讲）（学生版）

3.4对数运算及对数函数（精讲）一．对数的概念（1）一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数常用对数将以10为底的对数叫做常用对数把log10N记为lgN自然对数将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数把logeN记为lnN二．对数的性质与运算性质(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM．(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad．三．对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数四.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一．对数运算1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．2.将同底对数的和、差、倍合并．3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．二．对数函数的图象如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三．比较对数值大小的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系四．简单对数不等式1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．五．盘点易错易混1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．考法一对数的运算【例1-1】（2023·广东潮州）求值：(1)lg27lg83lg10lg1.2；(2)21|1lg0.001|lg4lg34lg6lg0.023(3)341lg2lg3lg5log2log94；(4)21log32531lglog3log2log5lne2100.【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log37221的值为________．【一隅三反】1．（2023广东湛江）计算：(1)lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1；(2)223666661log2log33log2log18log23(3)1223631226lne3334(4)228393(log3log9)(log4log8log2)(lg2)lg20lg5(5)2log532511()lnlog5log9lg42lg52e．(6)已知lg2a，lg3b，求2log12的值．考法二对数函数的三要素及定点【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数0.5log32yx的定义域是（）A．2,13B．2,3C．0,1D．2,13（2）（2023·全国·高三对口高考）函数216lg(sin)xyx的定义域是（）A．[4,4]B．ππ4,,422C．[4,π)(0,π)D．ππ[4,π)0,,π22【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数2lg2fxxxm的值域为R，则实数m的取值范围是（2）（2023·全国·高三专题练习）设24(1)log(4)(1)afxxa，则()fx值域是_______（3）（2023·山东）已知函数22,4,log,4,xaxfxxx若()fx存在最小值，则实数a的取值范围是【例2-3】（2023·山东德州）函数log440,1ayxaa的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则cos（）A．35B．35-C．45D．45【一隅三反】1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数2log0,0fxaxbab恒过定点2,0，则1bab的最小值为（）．A．221B．22C．3D．222．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1lg1xfxx，则函数121gxfxx的定义域是（）A．2xx或0xB．122xxC．2xxD．12xx3．（2023·湖北）已知函数log2afxx（0a，且1a）在1,3上的值域为2,4，则实数a的值是（）A．3B．13C．23D．324．（2023·浙江）已知函数223,2()(06log,2axxxfxaxx且1)a，若函数fx的值域是,4，则实数a的取值范围是（）A．2,12B．2,12C．1,2D．1,2考法三对数函数的单调性及应用【例3-1】（2023·安徽）函数2lg2yxx的单调递减区间为_________【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函数212log25yxaxa在2,上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．,2B．2,C．4,2D．1,2（2）（2023·山西）函数log|2|ayx在(2,0)上是单调递增的，则此函数在(,2)上是（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增（3）（2023·北京）若函数(31)4,1()log,1aaxaxfxxx对任意12,xx都有2121()()0fxfxxx，则实数a的取值范围是（）A．01，B．103，C．1(,17D．1173，【例3-3】（1）（2023·广东汕头·统考三模）已知12logaa，13logbb，15logcc，则a，b，c大小为（）A．abcB．bacC．acbD．cba（2）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知583log2,log3,log5abc，则下列结论正确的是（）A．abcB．bacC．acbD．bca【例3-4】（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知111log244aa，则实数a的取值范围是（）A．10,2B．0,1C．1,12D．10,4【一隅三反】1．（2023春·河南·）已知函数2()ln344fxxx，则()fx的单调增区间为_______.2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数2log2afxax在区间3,7上单调递增，则a的取值范围为______．3．（2023·河北）已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx在R上单调递减，则a的取值范围是__________．4．（2023·北京·高三专题练习）设2lg3a，lg3lg2b，1lg62c，则（）A．abcB．bacC．acbD．bca5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知6438136log3,log64,log332xyz，则（）A．xyzB．zxyC．yzxD．yxz6．（2023·河南）已知11loglog022mn，则（）A．1mnB．1nmC．01nmD．01mn考法四对数函数的奇偶性及应用【例4】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数2lnfxxax为奇函数，则01ff（）A．0B．ln21C．ln21D．ln2【一隅三反】1．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）“1a”是“函数22lgfxxax是奇函数”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）若1ln21fxmnx为奇函数，则1f（）3．（2023·甘肃）已知函数2ln1931fxxx，则1lg5lg5ff______．考法五对数函数的图像问题【例5】8（2023·全国·模拟预测）函数23ln|1|()xfxx在区间1,00,1U上的大致图象为（）A．B．C．D．【一隅三反】1．（2023·四川自贡·统考三模）函数lneexxxxfx的图象大致是（）A．B．C．D．2（2023·广东广州·统考三模）函数11lnfxxx的大致图象是（）．A．B．C．D．3．（2023·全国·高三专题练习）函数1()lnfxxx的图象可能是（）．A．B．C．D．考法六对数函数的综合运用【例6-1】（2023·四川凉山）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为216lg35ME，2022年11月16日，我州会理市发生里氏4.3级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏5.5级地震所释放能量的约多少倍（）A．1.810倍B．0.56倍C．1.210倍D．0.83倍【例6-2】（2023春·湖北）（多选）已知函数22log22fxaxax,下列说法正确的是()A．若fx定义域为R,则0,2aB．若fx值域为R,则2aC．若fx最小值为0,则1aD．若fx最大值为2,则2a【一隅三反】1．（2023春·四川宜宾）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：lg4.81.5EM．2008年5月12日，我国汶川发生了里氏8.0级大地震，它所释放出来的能量约是2022年9月5日我国泸定发生的里氏6.8级地震释放能量的（）倍．（参考数据：1.51032，1.81063，1.91079）A．32B．63C．79D．1002．（2023·广东清远）（多选）已知函数22log1log1fxxx，则（）A．fx的定义域为1,B．fx的单调递减区间为,0C．fx是增函数D．fx的值域为R3．（2023·高一课时练习）关于函数12log1fxx，有以下四个命题：①函数fx在区间,1上是单调增函数；②函数fx的图象关于直线1x对称；③函数fx的定义域为1,；④函数fx的值域为R.其中所有正确命题的序号是________.4（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆222:Oxyr与直线3