1.3 复数（精讲）（学生版）

1.3复数（精讲）一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含i）2.复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0），虚数（b≠0）纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反）5.复数的模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．二．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.三．复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1-→＋OZ2-→，Z1Z2-→＝OZ2-→－OZ1-→.一．解决复数概念问题的方法1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．二．复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式三．复数的几何意义1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．四．常用结论1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．考点一复数的计算【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知i12iz，i为虚数单位，则z（）A．2iB．2iC．2iD．2i【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数2023i2iz，则（）A．12ziB．12izC．12izD．12zi【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足(2i)i3iz，则z（）A．1iB．3iC．15iD．13i【一隅三反】1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数z满足1i2iz，则z（）A．2iB．2iC．12iD．12i2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数112iz，21izz，则12zz（）A．13iB．13iC．3iD．32i3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知12i2iz，则z（）A．45i33B．45i33C．iD．i4．（2023·山西临汾·统考二模）复数221i（）A．2048iB．2048C．2048iD．-20485．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若i为虚数单位，则计算232021i2i3i2021i___________．考法二复数的实部与虚部【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数33i2iz，则z的虚部为（）A．1i5B．15C．1D．i【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数i2iz（i是虚数单位）的共轭复数是z，则zz的虚部是（）A．4i5B．15C．25D．45【一隅三反】1．（2023春·河南商丘）已知复数25iiz，则z的虚部为（）A．2B．2C．5D．52．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数5i52i的实部与虚部之和为_______.3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且512i1ia，则1ia的虚部为（）A．2B．2C．2iD．2i考法三复数的分类【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知Ra，i24ia为纯虚数，则a（）A．1B．2C．3D．4【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数12iiRaa是实数，则a的值是（）A．2B．2C．12D．12【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数3i2ia是纯虚数，则实数a（）A．32B．32C．23D．232．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设z是纯虚数，若31iz是实数，则z的虚部为（）A．3B．1C．1D．33．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知z是纯虚数，21iz是实数，那么z（）A．2iB．iC．iD．2i考点四复数的几何意义【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数2i1iz，则z（）A．1B．102C．104D．10【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数z在复平面内对应的点为2,5，则1z在复平面内对应的点为（）A．3,5B．3,5C．3,5D．3,5【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数z满足12i22iiz，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足42iRizaa，若10z，则复数z为（）．A．3iB．13iC．3i或13iD．3i或3i【一隅三反】1．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数1iz，则|2i|z（）A．10B．5C．2D．22．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知348izz，则复数z在复平面上对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数z满足12i1iz，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数3i3iazaR，10z2，若z在复平面上对应的点在第三象限，则a（）A．4B．4C．10D．10考法五复数范围内解方程【例5】（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则|z|=（）A．1B．2C．3D．2【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z是方程2450xx的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则z（）A．2iB．2iC．2iD．2i2．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数z是一元二次方程22210xx的一个根，则z的值为（）A．1B．22C．0D．2考法六复数模的相关轨迹问题【例6-1】（2023·全国·校联考三模）已知复数0,zz满足002,2zzz，则||z的最大值为（）A．2B．22C．4D．32【例6-2】（2023·重庆·统考二模）复平面内复数z满足222zz，则iz的最小值为（）A．32B．52C．3D．5【一隅三反】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数086i34iz，其中i为虚数单位，且01zz，则复数z的模的最大值为（）A．1B．2C．3D．42．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数z满足21z，则iz的最小值为（）A．1B．51C．51D．33．（2023·广东·统考一模）在复平面内，已知复数z满足1izz（i为虚数单位），记02iz对应的点为点0,Zz对应的点为点Z，则点0Z与点Z之间距离的最小值为（）A．22B．2C．322D．22考法七复数的综合运用【例7】（2023·重庆·统考二模）（多选）已知复数1z，2z，则下列结论中正确的是（）A．若12zzR，则21zzB．若120zz，则10z或20zC．若1213zzzz且10z，则23zzD．若2212zz，则12zz【一隅三反】1．（2023·广东佛山·统考二模）（多选）设z，1z，2z为复数，且12zz，下列命题中正确的是（）A．若12zz，则12zzB．若1212zzzz，则120zzC．若12zzzz，则0zD．若12zzzz，则z在复平面对应的点在一条直线上2．（2023·山西运城·统考二模）（多选）设12,zz为复数，则下列命题中一定成立的是（）A．如果120zz，那么12zzB．如果12zz，那么1122zzzzC．如果121zz，那么12zzD．如果22120zz，那么120zz3．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）（多选）对于1z，2Cz，下列说法正确的有（）A．若11zz，则1RzB．若220zz，则2z是纯虚数C．2111zzzD．221212zzzz