考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）（原卷版）

考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）考题考点考向2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系求切线方程2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系由直线与圆有交点求参数的取值范围2022新高考直线方程求直线方程2021新高考直线与圆，圆与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的方程及应用2021全国乙文直线方程点到直线的距离2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系直线与圆相切，直线方程2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系求弦长的最值近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。一．选择题（共4小题）1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2B．C．D．2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（）A．1+B．4C．1+3D．73．（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（）A．B．C．1+D．2+一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1B．C．D．二．填空题（共4小题）5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝．6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|OP|＝8，则p的值为．7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值．8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为．一．直线的倾斜角1.倾斜角的定义（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.二．直线的斜率1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即tank.2.斜率的计算公式：定义斜率的定义式)2(tank两点式过两点)(111yxP，，))((21222xxyxP，的直线的斜率公式为1212xxyyk【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于2时，直线的斜率不存在.3.倾斜角与斜率的关系图示四、考点清单倾斜角09009018090斜率0k0k不存在0k三．直线的平行于垂直定义平行当k存在时，两直线平行，则21kk当k不存在时，则两直线的倾斜角都为90垂直当k存在时，两直线垂直，则121kk当k不存在时，则一条直线倾斜角为90，另一条直线倾斜角为0【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.四．直线的方程直线方程适用范围点斜式)(00xxkyy不能表示与x轴垂直的直线斜截式bkxy不能表示与x轴垂直的直线两点式121121xxxxyyyy不能表示与x轴、y轴垂直的直线截距式1byax不能表示与x轴垂直、y轴垂直以及过原点的直线一般式0CByAx无局限性五．特殊的直线方程已知点)(00yxP，，则类型直线方程与x轴垂直的直线0xx与y轴垂直的直线0yy六．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点)(00yxP，，)(nmv，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量PP0与v共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使vtPP0，即)()(00nmtyyxx，，，所以①ntyymtxx00.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.七．直线的平行与垂直斜截式一般式直线方程111bxkyl：222bxkyl：)0(0111111不同时为，：BACyBxAl)0(0222222不同时为，：BACyBxAl平行2121bbkk且01221BABA（注意可能重合）垂直121kk02121BBAA八．利用平行与垂直解决问题斜截式一般式直线方程mkxyl：1)0(01不同时为，：BACByAxl平行若直线12//ll，则可设2l的方程为：)(mkxy若直线12//ll，则可设2l的方程为：)(01CByAxl：垂直若直线12ll，则可设2l的方程为：xky1若直线12ll，则可设2l的方程为：01AyBxl：九．两条直线的交点对于直线)0(0111111不同时为，：BACyBxAl，)0(0222222不同时为，：BACyBxAl，求交点即解方程组00222111CyBxACyBxA，该方程组的解与两直线的位置关系如下：方程组解的个数位置关系一个解相交无解平行无数解重合十．三个距离公式条件距离公式两点之间的距离公式已知两点)(111yxP，，)(222yxP，22122121)()(yyxxPP点到直线的距离公式已知一点)(00yxP，，以及直线0:CByAxl2200BACByAxdlP两平行线的距离公式已知直线0:11CByAxl，以及0:22CByAxl220021BACByAxdll十一．对称条件方法两点关于另外一点对称)(11yxP，，)(22yxP，两点关于)(00yxM，对称21021022yyyxxx两点关于一直线对称)(11yxP，，)(22yxP，两点关于直线0:CByAxl对称（斜率存在）1.PP，两点的中点在直线l上；2.PP两点所在直线与直线l垂直两直线关于另一直线对称（三直线不平行）1.三条直线交于同一点；2.到角公式十二．两点关于一直线特殊的对称点的坐标直线方程对称点坐标)(00yxP，xy)(00xyP，)(00yxP，xy)(00xyP，)(00yxP，mxy)(00mxmyP，)(00yxP，mxy)(00mxmyP，十三．到角公式设21ll，的斜率分别是21kk，，1l到2l的角为，则)2(1tan1212kkkk.十四．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.十五．圆的标准方程圆的标准方程圆心半径)0()()(222rrbyax)(ba，r十六．圆的一般方程圆的一般方程圆心半径)04(02222FEDFEyDxyx)22(ED，2422FED十七．二元二次方程与圆的方程1.二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程022FEyDxCyBxyAx，对比圆的一般方程022FEyDxyx，0422FED，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.2.二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的条件是{𝐴=𝐶≠0𝐵=0(𝐷𝐴)2+(𝐸𝐴)2−4(𝐹𝐴)0.十八．点与圆的位置关系圆的标准方程为)0()()(222rrbyax一般方程为)04(02222FEDFEyDxyx.平面内一点)(00yxP，到圆心的距离为d.位置关系判断方法几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）点在圆上rd22020)()(rbyax0002020FEyDxyx点在圆外rd22020)()(rbyax0002020FEyDxyx点在圆内rd22020)()(rbyax0002020FEyDxyx十九．与圆有关的最值问题1.与圆的几何性质有关的最值问题类型方法圆外一定点到圆上一动点距离的最值最大值：rd；最小值：rd（d为该定点到圆心的距离）圆上一动点到圆外一定直线距离的最值最大值：rd；最小值：rd（d为圆心到直线的距离）过园内一定点的弦的最值最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦2.与圆的代数结构有关的最值问题类型代数表达方法截距式求形如nymx的最值转化为动直线斜率的最值问题斜率式求形如nxmy的最值转化为动直线截距的最值问题距离式求形如222)()(rbyax的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.二十．直线与圆的位置关系位置关系图示几何法代数法相切rd（d为圆心到直线的距离）0相交rd（d为圆心到直线的距离）0相离rd（d为圆心到直线的距离）0二十一．相切→求切线方程过定点)(00yxP，作圆222)()(:rbyaxC的切线，则切线方程为：P与圆的位置关系切线条数切线方程（方法）P在圆上1条200))(())((rbybyaxaxP在圆外2条【分两种情况讨论】：1.斜率存在，设为点斜式，再通过rd或0求出斜率即可；2.斜率不存在.【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解.二十二．相交→求弦长弦长公式：直线与圆相交于BA，两点，则2222dABr（d为圆心到直线的距离）.二十三．圆与圆的位置关系两圆的半径分别为21rr，，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系及其判断方法为：位置关系图示几何法公切线条数外离21rrd四条外切21rrd三条相交2121rrdrr两条内切21rrd一条内含210rrd无二十四．两圆的公共弦1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：步骤具体内容第一步设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在第二步联立直线与圆方程消元化简第三步根据韦达定理写出两根之和与两根之积第四步根据题中所给的条件，带入韦达定理一．直线的倾斜角（共1小题）1．（2023•二七区校级模拟）已知直线l的方程为，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（）A．B．C．D．二．直线的斜率（共2小题）2．（2023•湖北模拟）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．k≥2或B．或C．D．3．（2023•定远县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为，若直线OB的倾斜角为α，则其斜率为．三．直线的截距式方程（共2小题）4．（2023•定远县校级模拟）直线l1：y＝2x和l2：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：和．5．（2023•高新区校级模拟）若直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线