考点13空间向量与立体几何（36种题型10个易错考点）（原卷版）

考点13空间向量与立体几何（36种题型10个易错考点）考题考点考向2022新高考1，第4题空间几何体的体积求棱台的体积2022新高考1，第9题空间角与距离异面直线所成角与线面角2022新高考1，第19题空间向量及其应用求点到面的距离及二面角的正弦值2022新高考2，第7题空间几何体的机构特征与表面积球的表面积2022新高考1，第8题空间几何体的体积求四棱锥体积的范围2021新高考1，第12题空间向量及其应用线面垂直的判定2021新高考1，第20题直线，平面垂直的判定与性质线线垂直的性质，二面角的概念与应用，求三棱锥的体积2021新高考2，第19题空间角与距离面面垂直的证明，二面角余弦值的求解本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共4小题）1．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．2．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为．3．（2023•天津）在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为（）一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知A．B．C．D．（多选）4．（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体二．二面角的平面角及求法（共6小题）5．（2023•北京）如图，四面体P﹣ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的大小．6．（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（）A．102mB．112mC．117mD．125m（多选）7．（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4πC．AC＝2D．△PAC的面积为8．（2023•天津）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB中点．（Ⅰ）求证：A1N∥平面C1MA；（Ⅱ）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面C1MA的距离．9．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．10．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝R2－d2.3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．4．正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为3a2，体积为212a3.5．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝612a，外接球半径R外＝64a.6．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．四、考点清单8．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．9.线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．(8)垂直于同一平面的两条直线平行．10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．15．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．16．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．17.在几何体中求空间向量的数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.18.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).19.求点到平面的距离的四步骤20.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．21.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)一．构成空间几何体的基本元素（共1小题）1．（2023•淮北一模）如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩余的部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体五、题型方法二．棱柱的结构特征（共1小题）（多选）2．（2023•安徽模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB＝4，E，F，G分别为侧棱BB1，DD1，AA1上一点，BE＝DF＝A1G＝2，则（）A．BD⊥GFB．C．∠EGF的最大值为D．当时，GE//C1F三．棱锥的结构特征（共1小题）3．（2023•天津一模）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．四．棱台的结构特征（共1小题）4．（2023•柳南区二模）如图，ABC﹣A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）A．B．C．D．五．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题）5．（2023•南关区校级模拟）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A．B．C．D．6．（2023•潍坊一模）在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为．六．球内接多面体（共2小题）7．（2023•山西模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，以C1为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为（）A．B．C．D．8．（2023•江西模拟）若球O是正三棱锥A﹣BCD的外接球，，点E在线段BA上，BA＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）A．B．2πC．D．π七．球外切几何体（共2小题）9．（2023•全国模拟）四个半径为1的球两两相切，则它们的外切四面体棱长为（）A．B．C．D．（多选）10．（2023•小店区校级模拟）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球球心为O，E、F分别是棱AB、CC1的中点，G在棱BC上移动，则（）A．对于任意点G，OA∥平面EFGB．存在点G，使OD⊥平面EFGC．直线EF的被球O截得的弦长为D．过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题）11．（2023•深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A．384πB．392πC．398πD．404π12．（2023•漳州模拟）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（）A．B．1C．2D．4九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）13．（2023•贵阳模拟）已知球O的表面积为9π，若球O与正四面体S﹣ABC的六条棱均相切，则此四面体的体积为（）A．9B．C．D．14．（2023•保定二模）如图，在四面体ABCD中，AD⊥BC，BC＝2，AD＝4，AB+BD＝AC+CD＝6，则四面体ABCD体积的最大值为．一十．球的体积和表面积（共2小题）15．（2023•贵阳模拟）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（）A．B．C．D．16．（2023•南江县校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，且AB+PA＝6，当三棱锥P﹣ABC的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（）A．27πB．36πC．54πD．72π一十一．多面体和旋转体表面上的最短距离问题（共1小题）17．（2023•南宁模拟）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA＝3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面