专题9.3双曲线的定义与性质(解析版)

9.3双曲线的定义与性思维导图知识点总结1.双曲线定义：设𝐹1，𝐹2是平面内的两个定点，若平面内的点𝑃满足||𝑃𝐹∣|−|𝑃𝐹2∥=2𝑎(02𝑎|𝐹1𝐹2|)，则点𝑃的轨迹是以𝐹1，𝐹2为焦点的双曲线.2.双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)焦点坐标左焦点𝐹1(−𝑐，0)，右焦点𝐹2(𝑐，0)上焦点𝐹1(0，𝑐)，下焦点𝐹2(0，−𝑐)焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，其中𝑐叫做半焦距，且𝑐2=𝑎2+𝑏2图形𝑥≤−𝑎或𝑥≥𝑎，𝑦∈𝑅𝑦≤−𝑎或𝑦≥𝑎，𝑥∈R范围对称性关于𝑥轴、𝑦轴、原点对称实轴端点(顶点)(±𝑎，0)(0，±𝑎)虚轴端点(0，±𝑏)(±𝑏，0)实轴长2𝑎，其中𝑎叫做实半轴长虚轴长2𝑏，其中𝑏叫做虚半轴长渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥𝑦=±𝑎𝑏𝑥标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)离心率𝑒=𝑐𝑎(𝑒1)3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为2𝑏2𝑎.典型例题分析考向一双曲线的定义【例1】双曲线𝐶：𝑥24−𝑦2=1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝑃在双曲线上，且|𝑃𝐹1|=6，则|𝑃𝐹2|=___________答案：2或10解析：已知|𝑃𝐹1|求|𝑃𝐹2|用双曲线定义，需注意有绝对值，由题意，||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=4，所以|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=±4，故|𝑃𝐹2|=|𝑃𝐹1|±4，结合|𝑃𝐹1|=6可得|𝑃𝐹2|=2或10.【变式】双曲线𝑥24−𝑦25=1的左焦点为𝐹，𝐴(1，2)，𝑃为双曲线右支上一点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值为___________答案：2√2+4解析：如图，直接分析|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值不易，涉及|𝑃𝐹|，可考虑用定义转化到右焦点来分析，设双曲线的右焦点为𝐹1(3，0)，则|𝑃𝐹|−|𝑃𝐹1|=4，所以|𝑃𝐹|=4+|𝑃𝐹1|，故|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|+4(1)，由三角形两边之和大于第三边可得|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|≥|𝐴𝐹1|=√(1−3)2+(2−0)2=2√2，当且仅当𝑃与图中𝑃0重合时取等号，结合(1)可得|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|≥2√2+4，故(|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|)min=2√2+4.[反思]可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要类比学习.考向二双曲线的标准方程【例2】若方程𝑥2𝑚+𝑦22−𝑚=1表示双曲线，则实数𝑚的取值范围为___________答案：(−∞，0)∪(2，+∞)解析：双曲线标准方程中𝑥2和𝑦2的系数异号，所以1𝑚⋅12−𝑚0，解得：𝑚0或𝑚2.[反思]对于方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1，若{𝑚0𝑛0𝑚≠𝑛，则该方程表示椭圆；若𝑚𝑛0，则该方程表示双曲线.【变式】双曲线𝜆𝑥2−𝑦2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则𝜆=___________答案：14解析：先把双曲线化为标准方程，找到𝑎和𝑏，𝜆𝑥2−𝑦2=1⇒𝑥21𝜆−𝑦2=1，所以𝑎2=1𝜆，𝑏2=1，由题意，2𝑎=2×2𝑏，故𝑎2=4𝑏2，即1𝜆=4，所以𝜆=14.考向三渐近线问题【例3】已知双曲线𝐶：𝑥26−𝑦23=1，则𝐶的右焦点的坐标为；点(4，0)到其渐近线的距离是___________答案：(3，0)，4√33解析：由题意，𝑎=√6，𝑏=√3，𝑐=√𝑎2+𝑏2=3，所以双曲线𝐶的右焦点的坐标为(3，0)，渐近线方程为𝑦=±√22𝑥，即𝑥±√2𝑦=0，故点(4，0)到渐近线的距离𝑑=|4|√12+(±√2)2=4√33.[反思]无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“1”换成“0”，反解出𝑦即得渐近线的方程.【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为___________答案：𝑦=±√3𝑥解析：由离心率可找到𝑎和𝑐的比例关系，再利用𝑐2=𝑎2+𝑏2换算成𝑎和𝑏的关系即可，由题意，𝑒=𝑐𝑎=2，所以𝑐=2𝑎，故√𝑎2+𝑏2=2𝑎，化简得：𝑏𝑎=√3，所以渐近线方程为𝑦=±√3𝑥.[反思]离心率和渐近线斜率由𝑎，𝑏，𝑐的比值决定，故在求它们的过程中，可对𝑎，𝑏，𝑐按比例赋值，不会影响结果.例如，本题也可由𝑐=2𝑎直接令𝑎=1，𝑐=2，于是𝑏=√𝑐2−𝑎2=√3，也得出𝑏𝑎=√3.【变式2】双曲线𝐶与双曲线𝑥22−𝑦2=1有相同的渐近线，且过点(2，2)，则双曲线𝐶的方程为___________答案：𝑦22−𝑥24=1解析：不知道焦点在哪个坐标轴，讨论当然可以，但较为繁琑，可用共渐近线的双曲线的统一设法，设双曲线𝐶：𝑥22−𝑦2=𝜆(𝜆≠0)，因为双曲线𝐶过点(2，2)，所以222−22=𝜆，解得：𝜆=−2，故双曲线𝐶的方程为𝑦22−𝑥24=1.[反思]与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)共渐近线的双曲线可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝜆(𝜆≠0).考向四离心率问题【例4】(2021-全国甲卷)已知𝐹1，𝐹2是双曲线𝐶的两个焦点，𝑃为𝐶上一点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=60∘，|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，则𝐶的离心率为()A.√72B.√132C.√7D.√13答案：A解析：涉及|𝑃𝐹1|和|𝑃𝐹2|，考虑双曲线定义，由题意，{|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎，所以{|𝑃𝐹1|=3𝑎|𝑃𝐹2|=𝑎，还剩∠𝐹1𝑃𝐹2=60∘这个条件没用，可在△𝑃𝐹1𝐹2中由余弦定理建立方程求离心率，由余弦定理，|𝐹1𝐹2|2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|⋅cos∠𝐹1𝑃𝐹2，即4𝑐2=9𝑎2+𝑎2−2×3𝑎×𝑎×cos60∘，整理得：𝑐2𝑎2=74，所以𝐶的离心率𝑒=𝑐𝑎=√72.【变式】}已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过𝐹2的直线𝑙交双曲线的右支于𝐴、𝐵两点，且|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹1|，cos∠𝐴𝐹1𝐵=14，则双曲线的离心率为()A.√52B.√3C.2D.√5答案：C又|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹1|，代入(1)可得|𝐴𝐵|−|𝐴𝐹2|=|𝐵𝐹2|=2𝑎，代入(2)可得|𝐵𝐹1|−2𝑎=2𝑎，所以|𝐵𝐹1|=4𝑎，对于cos∠𝐴𝐹1𝐵=14这个条件，我们能想到用余弦定理建立方程求离心率，但若在△𝐴𝐹1𝐵中用，它的三边没有完全求出来，而△𝐵𝐹1𝐹2三边均已知了，所以转化到△𝐵𝐹1𝐹2中来用，因为|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹1|，所以∠𝐹1𝐵𝐹2=∠𝐴𝐹1𝐵，故cos∠𝐹1𝐵𝐹2=cos∠𝐴𝐹1𝐵=14，由余弦定理，|𝐹1𝐹2|2=|𝐵𝐹1|2+|𝐵𝐹2|2−2|𝐵𝐹1|⋅|𝐵𝐹2|⋅cos∠𝐹1𝐵𝐹2，即4𝑐2=16𝑎2+4𝑎2−2×4𝑎×2𝑎×14，整理得：𝑐2𝑎2=4，所以离心率𝑒=𝑐𝑎=2.考向五焦点三角形面积问题【例5】[变式]设𝐹(𝑐，0)是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的右焦点，过原点𝑂的直线与双曲线交于𝐴，𝐵两点，且𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，且△𝐴𝐵𝐹的周长为4𝑎+2𝑐，则该双曲线的离心率为()A.32B.52C.√103D.√102答案：D解析：先分析图形，在双曲线中给出右焦点，一定要关注左焦点，如图，记左焦点为𝐹1，由对称性，𝐴𝐵中点为𝑂，又𝐹𝐹1的中点也是𝑂，所以四边形𝐴𝐹1𝐵𝐹是平行四边形，结合𝐴𝐹⊥𝐵𝐹知四边形𝐴𝐹1𝐵𝐹是矩形，此时可将条件转移到△𝐴𝐹𝐹1中来，结合双曲线的定义处理，设|𝐴𝐹1|=𝑚，|𝐴𝐹|=𝑛，则|𝐵𝐹|=𝑚，由四边形𝐴𝐹1𝐵𝐹为矩形知|𝐴𝐵|=|𝐹𝐹1|=2𝑐，由题意，△𝐴𝐵𝐹的周长𝐿=|𝐴𝐵|+|𝐵𝐹|+|𝐴𝐹|=2𝑐+𝑚+𝑛=4𝑎+2𝑐，所以𝑚+𝑛=4𝑎(1)，由双曲线定义，|𝑚−𝑛|=2𝑎(2)，又𝐴𝐹1⊥𝐴𝐹，所以𝑚2+𝑛2=4𝑐2(3)，要求离心率，应消去𝑚和𝑛，建立𝑎和𝑐的关系式，将(1)和(2)平方相加可得(𝑚+𝑛)2+(𝑚−𝑛)2=16𝑎2+4𝑎2，整理得：𝑚2+𝑛2=10𝑎2，代入(3)可得10𝑎2=4𝑐2，故离心率𝑒=𝑐𝑎=√102.【变式】已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝑃在双曲线𝐶上，且𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，则△𝑃𝐹1𝐹2的面积为___________答案：4解析：涉及焦点三角形，考虑用双曲线的定义，如图，设|𝑃𝐹1|=𝑚，|𝑃𝐹2|=𝑛，则|𝑚−𝑛|=2𝑎(1)，上面得到的是长度关系，故用勾股定理翻译垂直，因为𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，所以𝑚2+𝑛2=|𝐹1𝐹2|2=4(𝑎2+4)(2)，对比(1)和(2)发现，可通过配方求得𝑚𝑛，面积就有了，由(2)知𝑚2+𝑛2=(𝑚−𝑛)2+2𝑚𝑛=4𝑎2+16(3)，将式(11代入式(3)可得4𝑎2+2𝑚𝑛=4𝑎2+16，所以𝑚𝑛=8，故𝑆△𝑃𝐾𝐹2=12𝑚𝑛=4.考向六直线与双曲线综合问题【例6】]已知𝐴，𝐵是双曲线𝐶：𝑥22−𝑦23=1上的两点，线段𝐴𝐵的中点是𝑀(2，1)，则直线𝐴𝐵的方程为___________答案：33𝑥−𝑦−5=0解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，𝑀(2，1)⇒𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝑂𝑀=𝑘𝐴𝐵⋅12=32，所以𝑘𝐴𝐵=3，如图，直线𝐴𝐵过点𝑀，故其方程为𝑦−1=3(𝑥−2)，整理得：3𝑥−𝑦−5=0.[反思]在双曲线中，涉及弦中点的问题都可以考虑用中点弦斜率积结论来建立方程，求解需要的量.[变式]已知双曲线𝐶：𝑥2−𝑦2=1，过点𝑃(𝑚，1)(𝑚0)的直线𝑙与双曲线𝐶交于𝐴、𝐵两点，若𝑃为线段𝐴𝐵的中点，则𝑚的取值范围是___________答案：(0，1)∪(√2，+∞)解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，由题意，𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝑂𝑃=𝑘𝐴𝐵⋅1𝑚=1，所以𝑘𝐴𝐵=𝑚，如图，直线𝑙过点𝑃，故其方程为𝑦−1=𝑚(𝑥−𝑚)，整理得：𝑦=𝑚𝑥+1−𝑚2，直线𝑙是随𝑚而变化的动直线，且应满足𝑙与𝐶有两个交点，于是联立方程用𝛥0来求𝑚的范围，联立{𝑦=𝑚𝑥+1−𝑚2𝑥2−𝑦2=1消去𝑦整理得：(1−𝑚2)𝑥2−2𝑚(1−𝑚2)𝑥+2𝑚2−2−𝑚4=0，因为直线𝑙与双曲线𝐶有2个交点，所以{1−𝑚2≠0(1)𝛥=4𝑚2(1−𝑚2)2−4(1−𝑚2)(2𝑚2−2−𝑚4)0由(1)可得𝑚≠±1，由(2)可得(1−𝑚2)[𝑚2(1−𝑚2)−2𝑚2+2+𝑚4)=(1−𝑚2)(2−𝑚2)0，所以𝑚21或𝑚2