专题7.1 不等式的性质(解析版)

7.1不等式的性质思维导图知识点总结1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab.(2)作商法ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0），ab＝1⇔a＝b（a，b≠0），ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0）.2.不等式的性质性质1若ab，则ba.性质2若ab，bc，则ac.性质3若ab，则a＋cb＋c.性质4若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则acbc.性质5若ab，cd，则a＋cb＋d.性质6若ab0，cd0，则acbd.性质7若ab0，则anbn(n∈N*).[常用结论]1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).(2)若ab0，则ab⇔1a1b.典型例题分析考向一比较数(式)的大小例1(1)若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.p＜qB.p≤qC.p＞qD.p≥q答案B解析p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.答案eπ·πe＜ee·ππ解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝eππ－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，所以eππ－e＜1，即eπ·πeee·ππ＜1，即eπ·πe＜ee·ππ.感悟提升比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.考向二构造法比较大小例2(1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A＜BD.A＞B答案B解析由题意得B2－A2＝－2ab≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.(2)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A.abcB.cbaC.cabD.bac答案B解析法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc.即cba.法二构造函数f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，由f′(x)0，得0xe；由f′(x)0，得xe.∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数.∴f(3)f(4)f(5)，即abc.论．考向三不等式的基本性质例3(1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有()A.a－b＞0B.2a＞2bC.ac＞bcD.a2＞b2答案AB解析对于A，因为a＞b，所以a－b＞0，故A正确；对于B，因为a＞b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a＞2b，故B正确；对于C，若c＜0，则ac＜bc，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D错误.(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则()A.ca＞cbB.b－ca－c＞baC.ac＞bcD.a－c＞2－bc答案ABD解析对于A，因为a＞b＞0，所以1a＜1b，因为c＜0，所以ca＞cb，正确；对于B，b－ca－c－ba＝a（b－c）－b（a－c）a（a－c）＝－ac＋bca（a－c）＝c（b－a）a（a－c），因为a＞b＞0＞c，所以b－a＜0，a－c＞0，所以b－ca－c＞ba，正确；对于C，因为c＜0，所以y＝xc单调递减，又a＞b，所以ac＜bc，错误；对于D，a－c＝a＋(－c)≥2－ac＞2－bc，正确.感悟提升解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；(2)利用特殊值排除法；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.考向四不等式性质的综合应用例4(1)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.答案(－4，2)(1，18)解析因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.由－33x12，42y6，得13x＋2y18.(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则ba的取值范围是________.答案－2，－23解析∵a∈(－3，－2)，∴1a∈－12，－13，故13＜－1a＜12，又∵2＜b＜4，∴23＜－ba＜2，则－2＜ba＜－23.迁移在本例(1)中，把条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，于是λ＋μ＝3，μ－λ＝2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12(x－y)＋52(x＋y).∵－1x－y4，2x＋y3，∴－1212(x－y)2，552(x＋y)152，∴9212(x－y)＋52(x＋y)192.故3x＋2y的取值范围是92，192.感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.基础题型训练一、单选题1．若,abcd，则下列不等关系中一定成立的是（）A．acbdB．acbdC．acbdD．acbd【答案】C【分析】利用不等式的性质逐一判断即可选出答案.【详解】对于A选项：当=2,=1,=3,=0abcd时，1=++=1acbd，错误；对于B选项：当=3,=1,=0,=2abcd时，3=++=1acbd，错误；对于C选项：当,abcd时，acbd，正确；对于D选项：当=2,=1,=3,=0abcd时，5==1acbd，错误；故选：C.2．下列命题中成立的是（）A．如果ab，0c，那么abccB．如果ab，那么22abC．如果ab，cd，那么adbcD．如果ab，cd，那么adbc【答案】D【分析】根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.【详解】,0abc时，abcc，所以选项A错误；0ab时，22ab，所以选项B错误；取3,2,2,5abcd，此时，adbc，所以选项C错误；cd时，dc，又abadbc选项D正确.故选：D.3．已知,,abcR，且ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．acbcB．acbcC．11abD．22acbc【答案】B【分析】根据题意，结合不等式的性质，一一判断即可.【详解】对于选项A，当0c时，acbc，故A错；对于选项B，由ab，得acbc，故B正确；对于选项C，当0ab时，11ab，故C错；对于选项D，当0c=时，22acbc，故D错.故选：B.4．已知xR，下列不等式中正确的是（）.A．1123xxB．221111xxxxC．221112xxD．2112||1xx【答案】C【解析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．【详解】取0x可得11=23xx，故A错误；取0x可得2211=11xxxx，故B错误；取1x可得2111==2||21xx，故D错误；选项C，∵22210xx，∴221112xx，故正确．故选：C．【点睛】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．5．若关于x的不等式组4341,3632xxxax的解集为(,2)，则实数a的取值范围是（）A．[2,)B．(2,)C．(,2]D．(,2)【答案】C【解析】利用一元一次不等式组的解法，求得不等式组的解集，对比系数求得a的取值范围.【详解】由43413632xxxax得2463432xxxax2xxa，由于不等式组的解集为(,2)，所以2a，解得2a，所以a的取值范围是(,2].故选：C【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，属于基础题.6．设a，b，c，d为实数，满足0ab，0bc，0cd，0abbc，则下列不等式正确的是()A．20ccdB．cdabC．0acbdD．acbd【答案】B【分析】根据已知条件求出a，b，c，d，0之间的大小关系，对于选项AB：根据不等式性质求解即可；对于选项CD：通过赋值找出反例即可求解.【详解】已知0ab，0bc，0cd，0abbc，可得0abcd，对各选项逐一判断：选项A：因为0cd，由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得2ccd，即20ccd，故A错误；选项B：因为0abcd，所以adbc，所以cdab，故B正确；选项C：取2a，1b，1c，2d，则2ac，2bd，此时acbd，故C错误；选项D：取2a，1b，1c，2d，则3ac，3bd，此时acbd，故D错误.故选:B.二、多选题7．若0ab，则下列不等式不可能成立的是（）A．11abaB．abC．11abD．22ab【答案】AC【分析】根据题干0ab，逐一分析判断选项即可.【详解】因为0ab，对A，可得0aba，所以11aba，故A错；对B，ab成立，故B正确；对C，11ab，故C错误；对D，ab，所以22ab成立，故D正确.故选：AC8．已知a，b，c满足abc，且0ac，则下列不等式中恒成立的有（）A．0a，0cB．bcaaC．22baccD．abbc【答案】AB【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【详解】解：abc，且0ac，0a，0c，故A成立；所以10a由bc，所以bcaa恒成立，故B成立；对于C：若1a，1b=-，则22bacc，故C错误；对于D：若0b，abbc，故D错误；故选：AB．三、填空题9．不等式组214,1123xxxx的解集为________．【答案】(1,4]【解析】解一元一次不等式组求得不等式的解集.【详解】由2141123xxxx得3332160xxx14xx，所以不等式组的解集为(1,4].【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.10．若、满足ππ22，则2的取值范围是______．【答案】3ππ,22【分析】利用不等式的基本性质可求得2的取值范围.【详解】因为ππ22，则ππ22，ππ22，且0，所以，π0，所以，3ππ22.故2的取值范围是3ππ,22.故答案为：3ππ,22.11．已知实数x，y满足41xy，145xy，则9txy的取值范围是___________．【答案】1,20【分析】设94txyaxybxy，得53a，83b，得到