专题4.5 简单的三角恒等变换（解析版）

4.5简单的三角恒等变换思维导图知识点总结𝟏半角公式sin𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼2,cos𝛼2=±√1+𝑐𝑜𝑠𝛼2,tan𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼(由降幂公式可得)证明由降幂公式𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼2得sin𝛼=±√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼2，则sin𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼2；由降幂公式𝑐𝑜𝑠2𝛼=1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2得cos𝛼=±√1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2，则cos𝛼2=±√1+𝑐𝑜𝑠𝛼2；tan𝛼2=sin𝛼2cos𝛼2=±√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼.解释半角公式，利用𝑐𝑜𝑠𝛼表示了sin𝛼2、cos𝛼2、tan𝛼2.𝟐万能公式sinα=2tanα21+tan2α2，cosα=1−tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21−tan2α2(由倍角公式可得)证明sin2𝛼=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α，则sinα=2tanα21+tan2α2；cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α，则cosα=1−tan2α21+tan2α2；tan2α=2tanα1−tan2α，则tanα=2tanα21−tan2α2.解释万能公式，利用tanα2表示了sinα、cosα和tanα.𝟑和化积公式sinα+sinβ=2sin𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2sinα−sinβ=2cos𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2cosα+cosβ=2cos𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2cosα−cosβ=−2sin𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2(由和差公式可得)证明sinα+sinβ=sin[𝛼+𝛽2+𝛼−𝛽2]+sin[𝛼+𝛽2−𝛼−𝛽2]=sin𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2+cos𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2+sin𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2−cos𝛼+𝛽2sin𝛼−𝛽2=2sin𝛼+𝛽2cos𝛼−𝛽2.其他类似证明.4积化和公式sinα∙cosβ=12[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]cosα∙cosβ=12[cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)]sinα∙sinβ=12[cos(𝛼−𝛽)−cos(𝛼+𝛽)](由和差公式可得)证明由和化积公式sin𝑥+sin𝑦=2sin𝑥+𝑦2cos𝑥−𝑦2可得sin𝑥+𝑦2cos𝑥−𝑦2=12(sin𝑥+sin𝑦)(∗)令𝛼=𝑥+𝑦2，𝛽=𝑥−𝑦2，则𝑥=𝛼+𝛽，𝑦=𝛼−𝛽，则公式(∗)变成sinα∙cosβ=12[sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)].其他类似证明.解释积化和公式相当于和化积公式的逆运算.典型例题分析考向一公式直接应用例1利用公式()C证明：（1）πcossin2；（2）cos(π)cos.证明：（1）πππcoscoscossinsin22201sinsin.（2）cos(π)cosπcossinπsin(1)cos0cos.考向二结合同角三角函数应用例2已知4sin5=，π,π2，5cos13，是第三象限角，求cos()的值.解：由4sin5=，π,π2，得2cos1sin243155.又由5cos13，是第三象限角，得2sin1cos251211313.所以cos()coscossinsin354125135133365.考向三三角恒等变换的综合应用例3利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72cos42cos72sin42；（2）cos20cos70sin20sin70；（3）1tan151tan15.分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.解：（1）由公式()S，得sin72cos42cos72sin42sin7242sin3012.（2）由公式()C，得cos20cos70sin20sin70cos2070cos900.（3）由公式()T及tan451，得1tan15tan45tan151tan151tan45tan15tan4515tan603.考向四二倍角公式与和差角公式例4已知5sin213，ππ42，求sin4，cos4，tan4的值.分析：已知条件给出了2的正弦函数值.由于4是2的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.解：由ππ42，得π2π2.又5sin213，所以2512cos211313于是sin4sin[2(2)]2sin2cos251212021313169；cos4cos[2(2)]212sin2251191213169；sin4tan4cos4120169120169119119.考向五三角函数的证明问题例5求证：.（1）1sincos[sin()sin()]2；（2）sinsin2sincos22.证明：（1）因为sin()sincoscossin，sin()sincoscossin将以上两式的左右两边分别相加，得sin()sin()2sincos，即1sincos[sin()sin()]2.（2）由（1）可得sin()sin()2sincos.①设，，那么2，2.把，的值代入①，即得sinsin2sincos22.考向六三角函数的应用问题例6求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin3cosyxx；（2）3sin4cosyxx.分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是sin()yAx，利用和角公式将其展开，可化为sincosyaxbx的形式.反之，利用和（差）角公式，可将sincosyaxbx转化为sin()yAx的形式，进而就可以求得其周期和最值了.解：（1）sin3cosyxx132sincos22xxπππ2sincoscossin2sin333xxx.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2.（2）设3sin4cossin()xxAx，则3sin4cossincoscossinxxAxAx.于是cos3A，sin4A，于是2222cossin25AA，所以225A.取5A，则3cos5，4sin5.基础题型训练一、单选题1．sin70sin10cos10cos70（）A．12B．12C．32D．32【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】1sin70sin10cos10cos70cos7010cos602．故选：A.2．在ABC中，若4cos5A，3cos5B，则cosC的值为（）A．725B．1825C．2425D．2425【答案】C【解析】先利用平方关系求出sin,sinAB，再利用两角和的余弦公式将coscos()CAB展开计算.【详解】在ABC中，由4cos5A，得23sin1cos5AA，由3cos5B，得24sin1cos5BB，∴coscos[()]cos()coscossinsinCABABABAB433424555525.故选：C.【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.3．下列各数sin25cos27cos25sin27aoooo，2sin27cos27boo，22cos221co，22tan22.51tan22.5doo中，最大的是（）A．aB．bC．cD．d【答案】D【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．【详解】观察发现tan451d，而sin(2527)sin521a，sin541b，cos441c，故选：D．4．下列化简结果正确的个数为（）①1cos22sin52sin22cos522②tan24tan3631tan24tan36③2cos15sin152④1sin15sin30sin754A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.【详解】1cos22sin52sin22cos52sin(5222)sin302，①正确；tan24tan36tan(2436)tan6031tan24tan36，②正确；2cos15sin152(cos45cos15sin45sin15)2cos(4515)2，③正确；sin15sin30sin75sin15sin30sin9015sin15cos15sin301sin3081sin302，④错误；正确的有3个.故选：C.5．已知为第三象限角，且2sin22cos2，则πsin24的值为（）A．710B．710C．7210D．7210【答案】D【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的两角差公式进行求解即可.【详解】2sin22cos222sin2212sin25sin5由为第三象限角，所以25sin5，25cos1sin5，所以4sin22sincos5，23cos212sin5，所以π272sin2sin2cos24210．故选：D【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.6．已知函数2()(2cos1)sin2xfxx，则函数()fx的最小正周期和最大值分别为（）A．和1B．2和1C．和12D．2和12【答案】C【解析】利用二倍角的正、余弦公式化简函数f（x），通过周期公式及三角函数的性质求解即可.【详解】因为2()(2cos1)sin=cossin2xfxxxx122sinx∴T22，函数的最大值为：12．故选：C.【点睛】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，三角函数的周期与最值的求法，属于基础题．二、多选题7．将函数cos2sin2fxxx的图象向左平移m个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值可能为（）A．8B．38C．58D．78【答案】BD【分析】利用辅助角公式可得2cos(2)4fxx，根据图象平移有()()gxfxm，确定平移后的解析式，根据对称性得到m的表达式，即可知可能值.【详解】由题意，得：cos2sin22cos(2)4fxxxx，图象向左平移m个单位，∴()()2cos(22)4gxfxmxm关于y轴对称，