专题4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（解析版）

4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质思维导图知识点总结1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ[常用结论]1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.典型例题分析考向一公式的逆用及变形角度1公式的活用例1(1)(2023·濮阳一模)cos40°sin70°－sin40°·sin160°＝()A.－12B.12C.－32D.32答案B解析cos40°sin70°－sin40°sin160°＝cos40°cos20°－sin40°sin20°＝cos(40°＋20°)＝cos60°＝12.故选B.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.答案2解析tan－3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，则1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2.角度2辅助角公式的运用例2化简：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)1sin10°－3sin80°.解(1)法一原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.法二原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝－2sinπ3－π12＝－2sinπ4＝－2.(2)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin（30°－10°）sin20°＝4.感悟提升三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.考向二三角函数式的化简例3(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.答案12cos2x解析原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2·sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)化简：(1tanα2－tanα2)·1＋tanα·tanα2＝________.答案2sinα解析(1tanα2－tanα2)·(1＋tanα·tanα2)＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·(1＋sinαcosα·sinα2cosα2)＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.感悟提升1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考向三三角函数求值问题角度1给角求值例4(1)sin40°(tan10°－3)等于()A.2B.－2C.1D.－1答案D解析sin40°·(tan10°－3)＝sin40°·sin10°cos10°－3＝sin40°·sin10°－3cos10°cos10°＝sin40°·212sin10°－32cos10°cos10°＝sin40°·2（cos60°·sin10°－sin60°·cos10°）cos10°＝sin40°·2sin（10°－60°）cos10°＝sin40°·－2sin50°cos10°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.(2)cos20°·cos40°·cos100°＝________.答案－18解析cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.角度2给值求值例5(1)(2023·安徽名校联考)已知cosα＋π6＝34，则sin2α＋5π6＝()A.－18B.18C.－14D.14答案B解析因为cosα＋π6＝34，所以sin2α＋5π6＝sinπ2＋2α＋π3＝cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2×342－1＝18.故选B.(2)(2023·铁岭质检)已知1cosθ＋tanθ＝2，则tanθ2的值为()A.3B.13或－1C.12D.13答案D解析由1cosθ＋tanθ＝cos2θ2＋sin2θ2cos2θ2－sin2θ2＋2tanθ21－tan2θ2＝1＋tan2θ21－tan2θ2＋2tanθ21－tan2θ2＝2，整理得3tan2θ2＋2tanθ2－1＝0，解得tanθ2＝13或tanθ2＝－1.因为cosθ≠0，所以θ≠π2＋kπ，k∈Z，所以θ2≠π4＋kπ2，k∈Z，所以tanθ2≠－1，故tanθ2＝13.故选D.角度3给值求角例6已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________2α－β＝________.答案17π3解析因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.感悟提升1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.给值(角)求值问题的一般步骤(1)化简条件式子或待求式子；(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.考向四三角恒等变换的应用例7设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).(1)求函数y＝fx＋π22的最小正周期；(2)求函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上的最大值.解(1)因为f(x)＝sinx＋cosx，所以fx＋π2＝sinx＋π2＋cosx＋π2＝cosx－sinx，所以y＝fx＋π22＝(cosx－sinx)2＝1－sin2x.所以函数y＝fx＋π22的最小正周期T＝2π2＝π.(2)fx－π4＝sinx－π4＋cosx－π4＝2sinx，所以y＝f(x)fx－π4＝2sinx()sinx＋cosx＝2(sinxcosx＋sin2x)＝212sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π4＋22.当x∈0，π2时，2x－π4∈－π4，3π4，所以当2x－π4＝π2，即x＝3π8时，函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上取得最大值，且ymax＝1＋22.感悟提升三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.考向五函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6.列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：(3)将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再将y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin2x＋π6的图象.迁移本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？解因为f(x)＝2sin2x＋π6＝2cos2x＋π6－π2＝2cos2x－π3，将y＝cosx的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到函数y＝cosx－π3的图象，再将y＝cosx－π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝cos2x－π3的图象，再将y＝cos2x－π3上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos2x－π3图象，即为f(x)＝2sin2x＋π6的图象.感悟提升作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.基础题型训练一、单选题1．要得到函数sin3yx的图象，只需将函数sin33yx的图象上的所有点沿x轴A．向右平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度【答案】C【详解】分析:将函数sin33yx的解析