专题21 概率与统计的综合运用（13大题型）（练习）（解析版）

专题21概率与统计的综合运用目录01求概率及随机变量的分布列与期望.................................................................................................202超几何分布与二项分布....................................................................................................................503概率与其它知识的交汇问题............................................................................................................804期望与方差的实际应用..................................................................................................................1105正态分布与标准正态分布..............................................................................................................1506统计图表及数字特征.....................................................................................................................1807线性回归与非线性回归分析..........................................................................................................2308独立性检验.....................................................................................................................................2709与体育比赛规则有关的概率问题..................................................................................................3110决策型问题.....................................................................................................................................3411递推型概率命题.............................................................................................................................3712条件概率、全概率公式、贝叶斯公式...........................................................................................4213高等背景下的概统问题..................................................................................................................4501求概率及随机变量的分布列与期望1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，①甲学校3场全胜，概率为：10.50.40.80.16P，②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：20.50.40.20.50.60.80.50.40.80.44P，所以甲学校获得冠军的概率为：120.6PPP；（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：(0)0.50.40.80.16PX，(10)0.50.40.20.50.60.80.50.40.80.44PX，(20)0.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34PX，(30)0.50.60.20.06PX，则X的分布列为：X0102030P0.160.440.340.06X的期望00.16100.44200.34300.0613EX．2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望EX．【解析】（1）记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有34C种方法，然后每种小球各取1个，有111222CCC种取法，所以3111422238CCCC4=C7PM.（2）由题意可知，X的可取值为1,2,3，当1X时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以1221262638CCCC91=C14PX；当2X时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以1221242438CCCC22=C7PX；当3X时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以1221222238CCCC13=C14PX，所以X的分布列为：X123P91427114所以92110123147147EX.3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按50%,30%和20%计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：项目选手1选手2选手3选手4专业能力/分85808284创新意识/分80808582写作水平/分86858688(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同报告的数目为X，求X的概率分布列和数学期望．【解析】（1）4名选手的总分，结果如下：选手1得分18550%8030%8620%83.7x（分），选手2得分28050%8030%8520%81x（分），选手3得分38250%8530%8620%83.7x（分），选手4得分48450%8230%8820%84.2x（分）．因为4312xxxx，且选手1的专业能力测试成绩高于选手3，所以应录取选手4和1．（2）X的可能取值为0，1，2，3，其中1112222111222CCC1108CCCPX，112232222111222CCAA318CCCPX，211232222111222CCCA328CCCPX，1112222111222CCC138CCCPX．所以X的概率分布列为：X0123P18383818所以13313012388882EX．4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为12，甲不会比划的成语，乙无法猜对．(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．【解析】（1）甲乙配合猜对2个成语，则需要抽中2个或3个甲会比划的成语，记事件A为甲乙配合猜对2个成语，可得22213232333355CCC1113CC2C2216PA，所以甲乙配合猜对2个成语的概率为316．（2）由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3，可得32302112323232333555CCCCCC11150C2C2C216PX，23021121132323232333555CCCCCC11111391CCC22C22C280PX，2230212323233355CCCC11132CC22C216PX，3303235CC113C280PX．所以X的分布列为X0123P5163980316180数学期望53931901231680168010EX．02超几何分布与二项分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望EX．(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有010,aaaN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0aa时，事件A发生的概率最大，求0a的值．【解析】（1）由题可得：X0，1，2，3，可得：每次捉到红鲤鱼的概率为42105p．易知23,5XB，332705125PX；21323541C55125PX；22323362C55125PX；32835125PX．分布列如表所示：X0123PX2712554125361258125所以26355EXnp．（2）每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为10a，则捉到黑鲤鱼的概率为110a．所以223233C11010101000aaPAaa，其中010a且aN，令3210haaa，则2320haaa，0ha解得0a或203a，故在200,3上0ha，ha为增函数，在20,103上0ha，ha为减函数，所以m