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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 (练习)(解析版)
专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题目录01正方体、长方体外接球...................................................................................................................202正四面体外接球...............................................................................................................................303对棱相等的三棱锥外接球................................................................................................................704直棱柱外接球...................................................................................................................................805直棱锥外接球...................................................................................................................................906正棱锥与侧棱相等模型.................................................................................................................1607侧棱为外接球直径模型.................................................................................................................1908共斜边拼接模型.............................................................................................................................2109垂面模型........................................................................................................................................2510二面角模型....................................................................................................................................3011坐标法............................................................................................................................................3612圆锥圆柱圆台模型.........................................................................................................................4213锥体内切球....................................................................................................................................4414棱切球............................................................................................................................................4801正方体、长方体外接球1.(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在长方体1111ABCDABCD中,已知2AB,14BCBB,在该长方体内放置一个球,则最大球的体积为.【答案】43/43【解析】在长方体1111ABCDABCD中,2AB,14BCBB,由长方体的结构特征知,长方体的内置球直径不超过最短棱长,于是得球直径小于等于2,球半径r的最大值为1,此时有334441333r,所以最大球的体积为43.故答案为:432.(2023·全国·高三专题练习)正方体的表面积为96,则正方体外接球的表面积为【答案】48π【解析】设正方体的棱长为a,因为正方体的表面积为96,可得2696a,解得4a,则正方体的对角线长为22244443l,设正方体的外接球的半径为R,可得243R,解得23R,所以外接球的表面积为224π4π48πSRR.故答案为:48π.3.(2023·吉林·高三校联考期末)已知正方体的顶点都在球面上,若正方体棱长为3,则球的表面积为.【答案】9【解析】该球为正方体外接球,其半径R与正方体棱长a之间的关系为23Ra,由3a,可得32R,所以球的表面积249SR.答案:902正四面体外接球4.(2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习)在正四面体PABC中,以PB为直径作球O,点D在球O与PB的中垂面相交所得的圆上运动,当三棱锥DABC的体积的最小值为2212时,该正四面体PABC外接球的体积为.【答案】3π2【解析】设正四面体PABC的棱长为a,设点D到平面ABC的距离为h,则2113==,334DABCABCVShah当h最小时,DABCV最小.因为球O的半径为1122PBa,如图所示,当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F,连接PF、BF,则,PFBFFOPB,所以DFO.因为31,,22BFaOBa则22FOa,2122FDaa,3sin3OBOFBFB.所以h最小值为21321sin22322aaOFBaa,所以21321322=3422312DABCVaaa,解得2a.设正四面体PABC的外接球的半径为R,球心为1O.如图所示,正四面体PABC的棱长为2,过P作PE平面ABC于E,由于2ABACBC,所以2362323AE,利用勾股定理得22623233PE,所以1AOE中,22262333RR,解得32R,所以正四面体PABC的外接球的体积为34π33π322.故答案为:3π25.(2023·河北·统考模拟预测)在正四面体PABC中,O为PB的中点,点D在以O为球心的球上运动,2PBOD,且恒有PDBD,已知三棱锥DABC的体积的最大值为18236,则正四面体PABC外接球的体积为()A.1083πB.1242πC.1322πD.1443π【答案】A【解析】由题知,O为PB的中点,点D在以O为球心的球上运动,2PBOD,所以,,DPB都在以O为球心的球上,又因PDBD,则D在PB的中垂面上,如图,连接,AOCO,,PABPBC都为正三角形,且O为PB的中点,,OAPBOCPB,OAOCO,,OAOC平面OAC,PB平面OAC,PB平面OAC,平面OAC是PB的中垂面,即D在平面OAC上,所以点D在平面OAC与以O为球心,OB为半径的球的交线上,即D在以O为圆心,OB为半径的平面OAC内的圆上,取AC中点E,连接,OEAE,延长EO至点F,使OFOB,作在平面OAC内,以O为圆心,OB为半径的圆,则圆O上的点F到平面ABC的距离最远,故D在F处,设ABa=,则32BEa,12OBa,PB平面OAC,OE平面OAC,PBOE,2222312442OEBEOBaaa,1222EFOFOEaa,在RtOBE中,132sin332aOBOEBBEa,点F到平面ABC的距离21363sin236hEFOEBaa,所以211633182363364DABCFABCABCVVhSaa,解得62a,如图则其外接正方体的边长为62ab,所以正四面体PABC外接球即为边长为6正方体的外接球,故外接球半径222666332R,所以外接球体积344ππ8131083π33VR.故选:A6.(2023·山东济南·高三统考期末)若正四面体的表面积为83,则其外接球的体积为()A.43πB.12πC.86πD.323π【答案】A【解析】设正四面体的棱长为a,由题意可知:234834a,解得:22a,所以正四面体的棱长为22,将正四面体补成一个正方体,则正方体的棱长为2,正方体的体对角线长为23,因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长,所以外接球半径3R,则外接球的体积为34π43π3VR,故选:A.7.(2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测)一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的体积为()A.6B.2C.3D.22【答案】A【解析】如图,四面体BDMN是正四面体,棱长2BD,将其补形成正方体GBCDMENF,则正方体GBCDMENF的棱长222GBBD,此正方体的体对角线长为6,正四面体BDMN与正方体GBCDMENF有相同的外接球,则正四面体BDMN的外接球半径62R,所以正四面体BDMN的外接球体积为33446()6332VR.故选:A03对棱相等的三棱锥外接球8.(2023•罗湖区月考)已知在四面体ABCD中,22,5ABCDADACBCBD,则四面体ABCD的外接球表面积为.【解析】解:如下图所示,将四面体ABCD放在长方体AEBFGCHD内,在四面体ABCD中,22,5ABCDADACBCBD,设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1,则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径,设该长方体的外接球半径为R,所以,该四面体的外接球直径为22222213R,因此,四面体ABCD的外接球的表面积为224(2)9RR,故答案为:9.9.(2023•孟津县校级期末)若四面体ABCD中,5ABCDBCAD,2ACBD,则四面体的外接球的表面积为6.【解析】解:由题意可采用割补法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,所以可在其每个面补上一个以5,5,2为三边的三角形作为底面,且以分别x,y,z长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体,并且225xy,225xz,222yz,则有2222(2)6(RxyzR为球的半径),所以球的表面积为246SR.故答案为:6.10.(2023•三模拟)在四面体ABCD中,2ACBD,5ADBC,7ABCD,则其外接球的表面积为.【解析】解:如下图所示,将四面体ABCD放在长方体AEBFGCHD内,设该长方体的长、宽、高分别为x、y、
本文标题:专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 (练习)(解析版)
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