专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）（解析版）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题目录01倍长定比分线模型...........................................................................................................................202倍角定理..........................................................................................................................................603角平分线模型.................................................................................................................................1004隐圆问题........................................................................................................................................1605正切比值与和差问题.....................................................................................................................1906四边形定值和最值.........................................................................................................................2307边角特殊，构建坐标系.................................................................................................................3008利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题........................................................4009利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围...........................................................................4410三角形中的几何计算.....................................................................................................................5411三角形的形状判定.........................................................................................................................5801倍长定比分线模型1．（2023·四川成都·统考一模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且π,2,3BABM是BC的中点，23AM，则AC，cosMAC.【答案】21323913/23913【解析】空1：在ABM中，则222cos2ABBMAMBABBM，即2141224BMBM，整理得：2280BMBM，解得4BM或2BM（舍去），故8BC，在ABC中，则22212cos464228522ACABBCABBCB，故213AC；空2：在ABM中，由222AMABBM，则π2MAB，在ABC中，由sinsinACBCBBAC，则38sin2392sin13213BCBBACAC，故π239coscoscossin213MACBACMABBACBAC.故答案为：213；23913.2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在①33cossinbcAaC，②sin-sinsin-sinACABbac，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足____．(1)求C；(2)若ABC的面积为3,D在边AC上，且13CDCA，4ACBC，求BD的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【解析】（1）方案一：选条件①.由33cossinbcAaC，可得3cossin3bcAaC，由正弦定理得3sinsincossinsin3BCAAC，因为π()BAC，所以sinsin()BAC，所以3sincoscossinsincossinsin3ACACCAAC，故3sincossinsin3ACAC，又sin0A，于是sin3cosCC，即tan3C，因为(0,π)C，所以3C.方案二：选条件②．sinsinsinsinACABbac，由正弦定理得acabbac，即222acabb，222abcab，由余弦定理得2221cos.22abcCab又(0,π)C，所以3C.（2）由题意知113sin3222ABCSabCab，得4ab．①4ACBC，即4ab②联立①②解得2ab而1233CDCA，由余弦定理得2222222π282cos222cos3339BDaCDaCDC∵0BD，故.273BD即BD的值为2733．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①33cossinbcAaC，②1tan12tanaCbB，③sinsinsinsinACABbac，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若△ABC的面积为3，D在边AC上，且CD=13CA，求BD的最小值．【解析】（1）方案一：选条件①．由33cossinbcAaC，可得3cossin3bcAaC，由正弦定理得3sinsincossinsin3BCAAC，因为()BAC，所以sinsin()BAC，所以3sincoscossinsincossinsin3ACACCAAC，故3sincossinsin3ACAC，又sin0A，于是sin3cosCC，即tan3C，因为(0,)C，所以3C．方案二：选条件②．因为1tan12tanaCbB，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得sin1sincos1sin2cossinACBBCB，即sinsincoscossinsin()sin2cossin2cossinACBCBCBBCBCB，因为ABC，所以,sin()sinBCABCA，又sin0,sin0AB所以1cos2C，因为(0,)C，所以3C．方案三：选条件③．sinsinsinsinACABbac，由正弦定理得acabbac，即222acabb，∴222abcab，∴由余弦下定得2221cos22abcCab．又(0,)C，所以3C．（2）由题意知113sin3222ABCSabCab△，得4ab．由余弦定理得2222211142cos293933333bbbbBDaaCaabaabab，当且仅当13ab且4ab，即23,233ab时取等号，所以BD的最小值为233．4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为BC边上的中线，已知3bc，222sin8sin2cossinAabcabCabAC，21cos7BAD．(1)求边b、c的长度；(2)求ABC的面积；(3)点G为AD上一点，13AGAD，过点G的直线与边AB、AC（不含端点）分别交于E、F．若56AGEF，求AEFABCSS的值．【解析】（1）因为222sin8sin2cossinAabcabCabAC，所以，222sin4sincossin2abcACACab，即sincoscossin4sinACACC，所以，sin4sinACC，即sin4sinBC，即4bc．又因为3bc，所以1c，44bc.（2）设BAC，因为AD为BC边上的中线，所以，11212212ADABBDABBCABCABACAAB，则21111cos2cos2222ABADABABACABABAC，222124ADADABACABAC2211178cos2cos1168cos222ABACABAC，4cos121cos7178cosABADBADABAD，①整理得228cos8cos110，即2cos114cos110，得1cos2或11cos14，由①，得4cos10，所以，1cos4，则1cos2，故2213sin1cos122，因此，113sin143222ABCSABAC△．（3）由（2）知，1cos2，D为BC的中点，则26ABACADAG．设AEAB，AFAC，其中 、0,1．所以6AEAFAG，得66AEAFAG．又E、G、F三点共线，则EG、EF共线，设EGkEFkR，则AGAEkAFAE，所以，1AGkAEkAF，因为AE、AF不共线，则111166kk，即116，由1122ADABAC，得111366AGADABAC，又EFAFAEACAB，所以11153666AGEFADEFABACACAB，即221566ACABACAB，又因为1cos1422ABACABAC，所以，1621835，所以，1161835，解得13，所以：13AEAB，13AFAC，所以1sin1112139sin23AEFABCAEAFBACSAEAFSABACABACBAC△△．02倍角定理5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①2222cos12cosbcabcBC；②22cbab；③cossincossincossincosCBCBBCBB，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且________．(1)证明：2CB；(2)求2cos4sinsinBBC的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）选择①：由2222cos12cosbcabcBC及余弦定理可得2cos2cos12cosbcAbcBC；即coscos12cosABC，又πABC，所以c