专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）（解析版）

专题09数列的通项公式、数列求和及综合应用目录01等差、等比数列的基本量问题.............................................................................................102证明等差等比数列...............................................................................................................403等差等比数列的交汇问题....................................................................................................704数列的通项公式.................................................................................................................1005数列求和............................................................................................................................1706数列性质的综合问题.........................................................................................................3007实际应用中的数列问题......................................................................................................3708以数列为载体的情境题......................................................................................................4009数列的递推问题.................................................................................................................4401等差、等比数列的基本量问题1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列na满足12a，11,3,nnnanaan为奇数为偶数，记2nnba，则有（）A．15bB．29bC．12nnbb+-=D．41nbn【答案】D【解析】对于A项，由已知可得12113baa，故A项错误；对于B项，由已知可得，3236aa，24317baa，故B错误；对于C项，由已知可得，2123nnaa，2221214nnnaaa，即14nnbb，所以14nnbb.故C项错误；对于D项，因为13b，14nnbb，所以，nb是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，34141nbnn.故D正确.故选：D.2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列na的前n项和为nS，2532aaa，47245aa，则5S（）A．29B．31C．33D．36【答案】B【解析】因为数列na是等比数列，2532aaa，所以3252222aaaaqaq，即222aq，则42a.又因为47245aa，故有714a.所以37418aqa，则12q，所有41316aaq，所有551161231112S，故B项正确.故选：B.3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列na，其前n项和为nS，若10a，且满足23a，3S，10a成等比数列，则105aa等于（）A．83或127B．83C．127D．2【答案】C【解析】由已知可得230a，设na的公差为d，且2322210211013333339Saaaaaadaad，即13ad，故1015191247aadaad.故选：C4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列na中，已知1234aaa，45632aaa，则6a（）A．643B．42C．1283D．2563【答案】C【解析】设na的公比为q，则33456123432aaaqaaaq，解得2q，所以212311134aaaaqqa，解得143a，所以55614128233aaq.故选：C.5．（2023·全国·模拟预测）已知数列na为等差数列，其前n项和为nS，且37a，10510105SS，则9S（）A．63B．72C．135D．144【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d，则112nnnSnad，则112nndSan．由10510105SS，得1192102daad，解得4d．又因为37a，所以1321aad，所以9199198991413522Sad．故选：C．6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列na对任意*kN满足132kkaak，则22023aa（）A．3032B．3035C．3038D．3041【答案】C【解析】因为132kkaak，所以1231235kkaakk，两式相减得：23kkaa，令1k得125aa，所以2113(1)kaak，所以21232kaak，当1012k时，220233101223038aa.故选：C.02证明等差等比数列7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列na中，13a，12N12,nnanna(1)求证：数列11na是等差数列，并求出na的通项公式；【解析】（1）当2n时，由112nnaa可得1111111nnnnaaaa，易知10na；两边同时取倒数可得11111111111111nnnnnnaaaaaa，即111111nnaa，由等差数列定义可得11na是以11112a为首项，公差1d的等差数列，所以211111212nnna，即2121nan，可得2121nnan，显然1n时，13a符合上式，即na的通项公式为*21,N21nnann；8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列na、nb的各项均为正数，且对任意*nN，都有na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，且110a，215a．(1)求证：数列nb是等差数列；(2)求数列na、nb的通项公式．【解析】（1）因为na、nb、1na成等差数列，nb、1na、1nb成等比数列，所以12nnnbaa①，211nnnabb②，又数列na、nb的各项均为正数，则由②可得11nnnabb③，将③代入①，得对任意*2,Nnn，有112nnnnnbbbbb，即12nnnbbb，所以数列nb是等差数列.（2）设数列nb的公差为d，由1210,15aa，得12122552,18,,3222bbbb，2122dbb，所以215222(4)(1)(1)(4)2222,nnnbbndnnb，由已知，当2n时，1(3)(4)2nnnnnabb，而110a也满足此式，所以342nnna，242nnb.9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设nS是数列na的前n项和，已知111,,1,22,.nnnannaaann为奇数为偶数(1)求4a，并证明：22na是等比数列；(2)求满足20nS的所有正整数n.【解析】（1）由11a可得2113122aa，所以325222aa，可得4317324aa；由已知得222122111214211222nnnnaananna，所以2221222nnaa，其中2231,2022aa，所以22na是以12为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知1211222nna，所以1221112,6422nnnnaan，所以21218432nnnaan，所以21234212nnnSaaaaaa2211118412326332222nnnnnn233123222nn，由二次函数及指数函数性质可知当2n时，2nS单调递减，其中2465721,,248SSS，所以满足20nS的所有正整数n为1，2.10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列na的各项均为非零实数，其前n项和为(0)nnSS，且21nnnnSaSa.(1)若32S，求3a的值；(2)若1aa，20232023aa，求证：数列na是等差数列，并求其前n项和.【解析】（1）21nnnnSaSa中令1n得：1321aaSa，因为数列na的各项均为非零实数，所以32aS，因为32S，所以322aS，即322a，解得：31a；（2）21nnnnSaSa，即12nnnnSaSa，所以1123SaSa，2234SaSa，3345SaSa，……，111nnnnSaSa，以上式子相乘得：1121nnnSaaSaa，因为数列na的各项均为非零实数，且11aS，所以211nnnaSaa，即12nnnaaaS，当2n时，121nnnaaaS，所以11221212nnnnnnnnnaaaaaSaSaSSaa，因为0na，所以112nnaaa，所以312aaa，422aaa，故数列21na为等差数列，首项为1a，公差为2a，数列2na为等差数列，首项为2a，公差为2a，20231210112023aaaa，所以1220232023210111011aaaaaa，所以211212121naanaanana，222212naananana，故nana，所以1nnaaa，所以数列na是等差数列，其前n项和11222nnnaananannSa.03等差等比数列的交汇问题11．（2023·高二课时练习）已知数列na的前n项和为nS，若1226aa，na，2na，1na成等差数列，则2020S．【答案】2018142【解析】由题意得212nnnaaa，所以112111122nnnnnnnnnaaaaaaaaa，因为1226aa，所以219a