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专题2.2函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】【新高考专用】【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】................................................................................................2【题型2利用函数的单调性求参数】...................................................................................................................4【题型3利用函数的单调性求最值】...................................................................................................................6【题型4函数的奇偶性及其应用】.......................................................................................................................9【题型5函数的对称性及其应用】.....................................................................................................................10【题型6函数的周期性及其应用】.....................................................................................................................12【题型7利用函数的性质比较大小】.................................................................................................................16【题型8利用函数的性质解不等式】.................................................................................................................18【题型9函数性质的综合应用】.........................................................................................................................211、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性从近五年的高考情况来看,本节是高考的一个重点,函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容,重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分,重点考查基本初等函数的单调性,利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等,难度较小;对于解答题部分,一般与导数结合,考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.3.求函数最值的三种基本方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值:对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x),则T=a;(2)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;(3)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(4)若f(x+a)=,则T=2a;(5)若f(x+a)=,则T=2a;(6)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】(2023·海南海口·统考模拟预测)函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4|𝑥|+3的单调递减区间是()A.(−∞,−2)B.(−∞,−2)和(0,2)C.(−2,2)D.(−2,0)和(2,+∞)【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数,由二次函数的性质即可求【解答过程】𝑓(𝑥)=𝑥2−4|𝑥|+3={𝑥2−4𝑥+3, 𝑥≥0𝑥2+4𝑥+3, 𝑥0,则由二次函数的性质知,当 𝑥≥0时,𝑦=𝑥2−4𝑥+3=(𝑥−2)2−1的单调递减区间为(0,2);当𝑥0,𝑦=𝑥2+4𝑥+3=(𝑥+2)2−1的单调递减区间为(−∞,−2),故𝑓(𝑥)的单调递减区间是(−∞,−2)和(0,2).故选:B.【变式1-1】(2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中)“函数𝑓(𝑥)在区间[1,2]上不是..增函数”的一个充要条件是()A.“存在a,𝑏∈[1,2],使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)”B.“存在a,𝑏∈[1,2],使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)≥𝑓(𝑏)”C.“存在𝑎∈(1,2],使得𝑓(𝑎)≤𝑓(1)”D.“存在𝑎∈(1,2),使得𝑓(𝑎)≥𝑓(2)”【解题思路】由增函数的定义,结合全称命题的否定形式,即可判断选项.【解答过程】若函数𝑓(𝑥)在区间[1,2]是增函数,即任意𝑎,𝑏∈[1,2],使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)𝑓(𝑏),则若函数𝑓(𝑥)在区间[1,2]不是增函数,即存在𝑎,𝑏∈[1,2],使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)≥𝑓(𝑏).故选:B.【变式1-2】(2022·江西·校联考二模)已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2−2,𝑥≥0,𝑥+3,𝑥0,若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑎+3),则𝑔(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥的单调递增区间为()A.(18,+∞)B.(−∞,18)C.(12,+∞)D.(−∞,12)【解题思路】先根据题目条件求出𝑎的值,再根据二次函数的性质求出𝑔(𝑥)的单调递增区间【解答过程】解:依题意,{𝑎+3=(𝑎+3)2−2,𝑎0≤𝑎+3,解得a=-1,故𝑔(𝑥)=−𝑥2+𝑥,可知𝑔(𝑥)在(−∞,12)上单调递增故选:D.【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为R,对任意𝑥1,𝑥2且𝑥1≠𝑥2,都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2−1,则下列说法正确的是()A.𝑦=𝑓(𝑥)+𝑥是增函数B.𝑦=𝑓(𝑥)+𝑥是减函数C.𝑦=𝑓(𝑥)是增函数D.𝑦=𝑓(𝑥)是减函数【解题思路】对题中条件𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2−1进行变化,构造新函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥,根据增、减函数的定义即可.【解答过程】不妨令𝑥1𝑥2,∴𝑥1−𝑥20,∵𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2−1⇔𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)−(𝑥1−𝑥2)⇔𝑓(𝑥1)+𝑥1𝑓(𝑥2)+𝑥2,令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥,∴𝑔(𝑥)1𝑔(𝑥2),又𝑥1𝑥2,∴𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥是增函数.故选:A.【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥+4,𝑥⩽1,1𝑥,𝑥1是[−12,+∞)上的减函数,则𝑎的取值范围是()A.[−1,−12]B.(−∞,−1]C.[−1,−12)D.(−∞,−1)【解题思路】首先分析知,𝑥1,函数单调递减,则𝑥⩽1也应为减函数,同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组,解出即可.【解答过程】显然当𝑥1时,𝑓(𝑥)=1𝑥为单调减函数,𝑓(𝑥)𝑓(1)=1当𝑥⩽1时,𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑎𝑥+4,则对称轴为𝑥=−2𝑎2×(−1)=𝑎,𝑓(1)=2𝑎+3若𝑓(𝑥)是[−12,+∞)上减函数,则{𝑎≤−122𝑎+3≥1解得𝑎∈[−1,−12],故选:A.【变式2-1】(2023·山西·校考模拟预测)已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的单调函数,∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝑓(𝑥)−𝑥3−2𝑥+1)=13,则𝑓(5)=()A.114B.116C.134D.136【解题思路】借助换元思想即可解答.【解答过程】由题意可知𝑓(𝑥)−𝑥3−2𝑥+1是一个常数,设𝑓(𝑥)−𝑥3−2𝑥+1=𝑡,则𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥+𝑡−1,因为𝑓(𝑓(𝑥)−𝑥3−2𝑥+1)=13,所以𝑓(𝑡)=𝑡3+3𝑡−1=13,因为𝑓(𝑡)=𝑡3+3𝑡−1在𝑅上单调递增,且𝑓(2)=13,所以𝑡=2,所以𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥+1,则𝑓(5)=53+2×5+1=136.故选:D.【变式2-2】(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)命题𝑝:𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑎𝑥−8,−1≤𝑥≤1(−𝑎+4)𝑥−3𝑎,𝑥−1在𝑥∈(−∞,1]上为增函数,命题𝑞:𝑔(𝑥)=𝑎2𝑥−4𝑥−2在(2,+∞)单调减函数,则命题q是命题p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】求出命题𝑝,𝑞中𝑎的范围,根据充分条件,必要条件的概念判断.【解答过程】若𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑎𝑥−8,−1≤𝑥≤1(−𝑎+4)𝑥−3𝑎,𝑥−1在𝑥∈(−∞,1]为增函数,则{−𝑎2≤−1−𝑎+40(−1)2+𝑎⋅(−1)−8≥(−𝑎+4)⋅(−1)−3𝑎,解得3≤𝑎4;𝑔(𝑥)=𝑎2𝑥−4𝑥−2=𝑎2(𝑥−2)+2𝑎2−4𝑥−2=𝑎2+2𝑎2−4𝑥−2在(2,+∞)为减函数,则2𝑎2−40,即𝑎√2或𝑎−√2,因为“3≤𝑎4”能推出“𝑎√2或𝑎−√2”,反之不成立,所以命题q是命题p的必要不充分条件,故选:B.【变式2-3】(2023·北京丰台·统考一模)已知函数
本文标题:专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)
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