专题04 统计概率（解答题11种考法）（精练）（解析版）

专题04统计概率（解答题11种考法）1．（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:等级12345678910频数10901001501502001001005050(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为优良的概率；(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这4件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.【答案】(1)710(2)分布列见解析，45E【解析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好.根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得1090100110005PA，150150200110002PB.因为,AB互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为1175210PABPAPB.（2）由(1)知，评分为优秀的概率为15，由题意得1~45,B，则4414C,0,1,2,,455kkkPkk当0时，040414256(0)C55625P；当1时，131414256(1)C55625P；当2时，22241496(2)C55625P；当3时，31341416(3)C55625P；当4时，4044141(4)C55625P.所以的分布列为01234P25662525662596625166251625数学期望14455E.2．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为23，且各题操作互不影响.(1)求李明被终止比赛的概率；(2)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明获二等奖的概率.【答案】(1)27(2)分布列见解析，80(3)44189【解析】（1）解：设“李明被终止比赛”事件为,MM表示选的4题均会操作或3题会操作，故李明被终止比赛的概率31452547CCC211C7PMPM.（2）解：设李明在竞赛中，A类题全部操作正确后得分为X，则X的取值为40,60,80,100，且B类题正确操作题数23,3nB，可得030321140C3327PX；121321260C339PX；212321480C339PX；3033218100C3327PX所求X的分布列X406080100PX1272949827124840608010080279927EX.（3）解：设李明获二等奖的事件为N，事件N即A类题全部操作正确，B类题正确操作2题或A类题操作正确3题，B类题全部正确操作，所以李明获二等奖的概率为243123552334477CCC21CCC33CPN32443189.3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）2022年的男足世界杯在卡塔尔举办，参赛的32支球队共分为8个小组，每个小组有4支球队，小组赛采取单循环赛制，即每支球队都要和同组的其他3支球队各比赛一场.每场比赛获胜的球队积3分，负队积0分.若打平则双方各积1分，三轮比赛结束后，积分从多到少排名靠前的2支球队小组出线（如果积分相等，还要按照其他规则来排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球队分在同一个组，且甲队与乙、丙、丁3支球队比赛获胜的概率分别为12，13，14，与三支球队打平的概率均为14，每场比赛的结果相互独立.(1)某人对甲队的三轮小组赛结果进行了预测，他认为三场都会是平局，记随机变量X＝“结果预测正确的场次”，求X的分布列和数学期望；(2)假设各队先后对阵顺序完全随机，记甲队至少连续获胜两场的概率为p，那么甲队在第二轮比赛对阵哪个对手时，p的取值最大，这个最大值是多少？【答案】(1)分布列见解析，34(2)112【解析】（1）由于甲队每场比赛平局的概率都是14，所以甲队三场比赛打平的场次，即随机变量X服从二项分布，由题意得1~3,4XB，其分布列如下：030313270C4464PX，121313271C4464PX，21231392C4464PX，30331313C4464PX，X0123P27642764964164数学期望13344EX.（2）由已知得不同的对阵情况共有33A6种，每种可能性出现的概率均为16.设甲队第二轮对阵乙队至少连续获胜两场的概率为1p，甲队第二轮对阵丙队至少连续获胜两场的概率为2p，甲队第二轮对阵丁队至少连续获胜两场的概率为3p，则1111111121113111116326426324642312p；2111111111113115116236436234643272p；3111111121111111116246346342624318p；因为123ppp，所以甲队在第二轮对阵乙队时，p的取值最大，最大值为112.4．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终A学校和B学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由A学校和B学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次．(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从A学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从B学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B学校代表再从乙箱中抽取题目，已知B学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率．【答案】(1)这20人答对题目的均值为1.2，方差为0.76(2)613【解析】（1）设A学校答对题目的样本数据为1212,,,xxx，B学校答对题目的样本数据为128,,,yyy，由题意得12112112iix，由题意得8181.512iiy，所以这20人答对题目的均值为1281112121.2128128iiiixy，由2221212(1)(1)(1)112xxx，得1221(1)12iix，由222128(1.5)(1.5)(1.5)0.258yyy，得821(1.5)2iiy，12122211(1.2)1(11.2)iiiixx122110.4(1)0.04iiixx122110.40.44iiixx1212211(1)0.4120.44iiiixx120.412120.4412.48，882211(1.2)1.5(1.51.2)iiiiyy8211.50.6(1.5)0.09iiiyy8211.50.60.81iiiyy88211(1.5)0.680.81iiiiyy20.61280.812.72，这20人答对题目的方差为1282211(1.2)(1.2)128iiiixy12.482.720.7620.（2）记B“B学校代表从乙箱中抽取的第一道题是选择题”，1A“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”，2A“A学校代表先从甲箱中依次抽取了一道选择题，一道填空题”，3A“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”，易知123,,AAA彼此互斥，123AAA，24126C2()C5PA，1142226CC8()C15PA，22326C1()C15PA，15(|)8PBA，241(|)82PBA，33(|)8PBA，112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA258113135815215824，1(|)PAB11()(|)()PAPBAPB25581324613.所以A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率为613.5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是34，23，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望.(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入,AB两个纸箱中，A箱中有3道选择题和2道填空题，B箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在,AB两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】(1)分布列见解析，5()6EX(2)514【解析】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为211323，乙获得决赛资格的概率为321432，X的所有可能取值为0,1,2，(0)PX111(1)(1)323，11111(1)(1)(1)32322PX，111(2)326PX，所以X的分布列为：X012P131216所以1115()0123266EX.（2）记iA“甲从A箱中抽出的是i(0,1,2)i道选择题”，B“乙从B箱中抽取的第一题是选择题”，则22025C1()C10PA，1132125CC3()C5PA，23225C3()C10PA，13018C3(|)C8PBA，14118C1(|)C2PBA，15218C5(|)C8PBA，所以222()(|)(|)()PAPBAPABPB22001122()(|)()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA3510813