专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)（解析版）

专题05解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2方法一：等面积法............................................................................................2方法二：内角平分线定理.................................................................................5方法三：角互补..............................................................................................11三、专项训练.......................................................................................................14一、必备秘籍角平分线如图，在ABC中，AD平分BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c核心技巧1：内角平分线定理：ABACBDDC或ABBDACDC核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABCABDADCSSS111sinsinsin22222AAABACAABADACAD核心技巧3：边与面积的比值：ABDADCSABACS核心技巧4：角互补：ADBADCcoscos0ADBADC在ADB中有：222cos2DADBABADBDADB;在ADC中有：222cos2DADCACADCDADC二、典型题型方法一：等面积法1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在ABC中，60BAC，2AB，6BC，BAC的角平分线交BC于D，则AD（）A．3B．2C．22D．23【答案】B【详解】在ABC中,由余弦定理得2222cosBACBCACABACBC,则246cos6022ACAC，即2220ACAC，解得13AC，（负值舍），而AD平分BAC，即30BADCAD，又ABCABDACDSSS，故1112sin602sin30sin30222ACADACAD，则2313232233ACADAC，故选：B2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，且满足sin3cosaCaCb.(1)求A；(2)若内角A的角平分线交BC于D点，且3AD，求ABC的面积的最小值.【答案】(1)2π3A(2)33【详解】（1）∵sin3cosaCaCb，∴由正弦定理得sinsin3sincossinACACB，∴sinsin3sincossinACACAC，∴sinsin3sincossincoscossinACACACAC，∴sinsin3cossinACAC，∵A，0,πC，∴sin0C，∴sin3cosAA，∴tan3A，∴2π3A.（2）如图，由题意及第（1）问知，π3BADCAD，且ABCBADCADSSS，∴111sinsinsin222bcBACcADBADbADCAD，∴13131333222222bccb，化简得3bcbc，∵0b，0c，∴由基本不等式得323bcbcbc，∴23bc，当且仅当23bc时，等号成立，∴12bc∴113sin1233222ABCSbcBAC，故ABC的面积的最小值为33.3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，3cos2sinsin0cBbBC，D是ABC边AC上的一点，且1BD．(1)若BDBC，3AB，求AD；(2)若BD为ABC的角平分线，求ABC面积的最小值．【答案】(1)1(2)3【详解】（1）3cos2sinsin0cBbBC，由正弦定理得3sincos2sinsinsin0CBBBC，由0,πC，sin0C，则23cos2sin0BB，即22cos3cos20BB，解得1cos2B，由0,πB，即得2π3ABC，如图所示.由BDBC，则π6ABD，ABD△中，由余弦定理，22232cos3123112ADABBDABBDABD，解得1AD.（2）2π3ABC，BD为ABC的角平分线，且1BD，如图所示，则有π3ABDCBD，ABCABDCBDSSS，则111sinsinsin222acABCcBDABDaBDCBD，即131313222222acca，且0,0ac，则2acacac，可得4ac，当且仅当2ac时等号成立，所以113sin43222ABCSacABC，故ABC面积的最小值为3．4．（2022·全国·高一专题练习）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且π3A，AD是ABC的角平分线，且32AD，求4bc的最小值.【答案】92.【详解】在ABC中，π3A，AD是ABC的角平分线，且32AD，而ABCABDACDSSS，则有1π1π1πsin=sinsin232626bccADbAD，即333488bcbc，得112bc，因此111141494()(4)(5)(52)2222cbcbbcbcbcbcbc，当且仅当4cbbc，即322cb时取等号，所以4bc的最小值是92.5．（2022·全国·高一专题练习）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且π3A，AD是ABC的角平分线，且AD＝635，7a，求c.【答案】2或3【详解】∵=ABCABDACDSSS△△△，则有111sin60=sin30sin30222bccADbAD，3163163=44545bccb，可得()65bcbc=+①由余弦定理2222cosabcbcA，可得227bcbc②由①②解得23bc，或32bc，所以2c，或3c.方法二：内角平分线定理1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知ABC中，4AC，3AB，60BAC，AD是ABC的角平分线，则AD．【答案】1237/1237【详解】设ADx，因为AD是角平分线，则34BDABCDAC，又由已知得22296cos30933BDxxxx，同理221643CDxx，∴22229339161643BDxxCDxx，解得1237x．故答案为：1237．2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，其中sin3sinCA，60B，7b.若B的角平分线BD交AC于点D，则BD.【答案】334/334【详解】由题设302ABCABDCBD，则CDBCaADABc，又sin3sinCA，则3ca，故13CDAD，又7b，即17444bCDAC，在△ABC中，由余弦定理知：2222cos7bacacB，即277a，得1a，故3c，在△BCD中，由余弦定理知：2222cos30CDBDaaBD，故2161639BDBD(433)(43)0BDBD，故334BD或34BD，又3211sinsinsinsin142cbCCBDCABC，即BDCD，故334BD.故答案为：3343．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在ABC中，2ABAC，BAC的角平分线交BC于D，ADkAC.(1)求k的取值范围；(2)已知ABC面积为1，当线段BC最短时，求实数k.【答案】(1)40,3；(2)2105k【详解】（1）设,,2,.BADCADACbABbADkb由角平分线定理，2BDABCDAC，224BDCD，由余弦定理，22222222cos44cosBDABADABADbkbkb，22222222cos2cosCDACADACADbkbkb，所以2222222244cos4(2cos)bkbkbbkbkb，化简得434cos0,cos3kk.因为π(0,)2，故44cos(0,)33k；（2）由题意，21sin2sin212ABCSABACbV，因此21sin2b，由余弦定理，222222cos254cos2BCABACABACabb，故22254cos2cos9sin19tansin22sincos2tan2BC，当且仅当19tan2tan2时，BC取得最小值3，此时1tan3.显然为锐角，由1sin11tansincos3cos33代入22sincos1中，得310cos10，或310cos10舍去，由（1）知，此时4210cos35k.4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中）ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sinsincossincosaAbCAcAB.(1)求sinsinAC的值；(2)若BD是ABC的角平分线.（i）证明：2··BDBABCDADC；（ii）若1a，求BDAC的最大值.【答案】(1)12(2)（i）证明见解析；（ii）322【详解】（1）因为ABC中，4sinsincossincosaAbCAcAB，故24sinsinsincossinsincossin(sincossincos)ABCACABCBAAB2sinsinsinCABC，因为(0)sinsin0,,π,,ACAC，故sin1sin2AC；（2）（i）证明：ABD△中，由正弦定理得sinsinADABABDADB①，又2222cosABADBDADBDADB②，同理在BCD△中，sinsinCDBCCBDCDB③，2222cosBCCDBDCDBDCDB④，BD是ABC的角平分线，则ABDCBD，则sinsinABDCBD，又πADBCDB，故sinsincoscos0,ADBCDBADBCDB，故①÷③得ADABCDBC⑤，即,ADABCDBCACABBCACABBC，由CD②AD④得，222CDABADBCCDADADCDCDADBD2CDADACACBD，则222CDABADBCBDCDADAC22BCABABBCCDADBABCDADCABBC，即2··BDBABCDADC；（ii）因为sin1sin2AC，故2ca，则由⑤得2ADABCDBC，则,213