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专题05解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2方法一:等面积法............................................................................................2方法二:内角平分线定理.................................................................................5方法三:角互补..............................................................................................11三、专项训练.......................................................................................................14一、必备秘籍角平分线如图,在ABC中,AD平分BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c核心技巧1:内角平分线定理:ABACBDDC或ABBDACDC核心技巧2:等面积法(使用频率最高)ABCABDADCSSS111sinsinsin22222AAABACAABADACAD核心技巧3:边与面积的比值:ABDADCSABACS核心技巧4:角互补:ADBADCcoscos0ADBADC在ADB中有:222cos2DADBABADBDADB;在ADC中有:222cos2DADCACADCDADC二、典型题型方法一:等面积法1.(2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末)在ABC中,60BAC,2AB,6BC,BAC的角平分线交BC于D,则AD()A.3B.2C.22D.23【答案】B【详解】在ABC中,由余弦定理得2222cosBACBCACABACBC,则246cos6022ACAC,即2220ACAC,解得13AC,(负值舍),而AD平分BAC,即30BADCAD,又ABCABDACDSSS,故1112sin602sin30sin30222ACADACAD,则2313232233ACADAC,故选:B2.(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)在ABC中,内角A,B,C的对边分別为a,b,c,且满足sin3cosaCaCb.(1)求A;(2)若内角A的角平分线交BC于D点,且3AD,求ABC的面积的最小值.【答案】(1)2π3A(2)33【详解】(1)∵sin3cosaCaCb,∴由正弦定理得sinsin3sincossinACACB,∴sinsin3sincossinACACAC,∴sinsin3sincossincoscossinACACACAC,∴sinsin3cossinACAC,∵A,0,πC,∴sin0C,∴sin3cosAA,∴tan3A,∴2π3A.(2)如图,由题意及第(1)问知,π3BADCAD,且ABCBADCADSSS,∴111sinsinsin222bcBACcADBADbADCAD,∴13131333222222bccb,化简得3bcbc,∵0b,0c,∴由基本不等式得323bcbcbc,∴23bc,当且仅当23bc时,等号成立,∴12bc∴113sin1233222ABCSbcBAC,故ABC的面积的最小值为33.3.(2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试)已知ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,3cos2sinsin0cBbBC,D是ABC边AC上的一点,且1BD.(1)若BDBC,3AB,求AD;(2)若BD为ABC的角平分线,求ABC面积的最小值.【答案】(1)1(2)3【详解】(1)3cos2sinsin0cBbBC,由正弦定理得3sincos2sinsinsin0CBBBC,由0,πC,sin0C,则23cos2sin0BB,即22cos3cos20BB,解得1cos2B,由0,πB,即得2π3ABC,如图所示.由BDBC,则π6ABD,ABD△中,由余弦定理,22232cos3123112ADABBDABBDABD,解得1AD.(2)2π3ABC,BD为ABC的角平分线,且1BD,如图所示,则有π3ABDCBD,ABCABDCBDSSS,则111sinsinsin222acABCcBDABDaBDCBD,即131313222222acca,且0,0ac,则2acacac,可得4ac,当且仅当2ac时等号成立,所以113sin43222ABCSacABC,故ABC面积的最小值为3.4.(2022·全国·高一专题练习)ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且π3A,AD是ABC的角平分线,且32AD,求4bc的最小值.【答案】92.【详解】在ABC中,π3A,AD是ABC的角平分线,且32AD,而ABCABDACDSSS,则有1π1π1πsin=sinsin232626bccADbAD,即333488bcbc,得112bc,因此111141494()(4)(5)(52)2222cbcbbcbcbcbcbc,当且仅当4cbbc,即322cb时取等号,所以4bc的最小值是92.5.(2022·全国·高一专题练习)ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且π3A,AD是ABC的角平分线,且AD=635,7a,求c.【答案】2或3【详解】∵=ABCABDACDSSS△△△,则有111sin60=sin30sin30222bccADbAD,3163163=44545bccb,可得()65bcbc=+①由余弦定理2222cosabcbcA,可得227bcbc②由①②解得23bc,或32bc,所以2c,或3c.方法二:内角平分线定理1.(2023春·广东深圳·高一校考期中)已知ABC中,4AC,3AB,60BAC,AD是ABC的角平分线,则AD.【答案】1237/1237【详解】设ADx,因为AD是角平分线,则34BDABCDAC,又由已知得22296cos30933BDxxxx,同理221643CDxx,∴22229339161643BDxxCDxx,解得1237x.故答案为:1237.2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,角,,ABC所对的边分别是,,abc,其中sin3sinCA,60B,7b.若B的角平分线BD交AC于点D,则BD.【答案】334/334【详解】由题设302ABCABDCBD,则CDBCaADABc,又sin3sinCA,则3ca,故13CDAD,又7b,即17444bCDAC,在△ABC中,由余弦定理知:2222cos7bacacB,即277a,得1a,故3c,在△BCD中,由余弦定理知:2222cos30CDBDaaBD,故2161639BDBD(433)(43)0BDBD,故334BD或34BD,又3211sinsinsinsin142cbCCBDCABC,即BDCD,故334BD.故答案为:3343.(2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试)如图,在ABC中,2ABAC,BAC的角平分线交BC于D,ADkAC.(1)求k的取值范围;(2)已知ABC面积为1,当线段BC最短时,求实数k.【答案】(1)40,3;(2)2105k【详解】(1)设,,2,.BADCADACbABbADkb由角平分线定理,2BDABCDAC,224BDCD,由余弦定理,22222222cos44cosBDABADABADbkbkb,22222222cos2cosCDACADACADbkbkb,所以2222222244cos4(2cos)bkbkbbkbkb,化简得434cos0,cos3kk.因为π(0,)2,故44cos(0,)33k;(2)由题意,21sin2sin212ABCSABACbV,因此21sin2b,由余弦定理,222222cos254cos2BCABACABACabb,故22254cos2cos9sin19tansin22sincos2tan2BC,当且仅当19tan2tan2时,BC取得最小值3,此时1tan3.显然为锐角,由1sin11tansincos3cos33代入22sincos1中,得310cos10,或310cos10舍去,由(1)知,此时4210cos35k.4.(2023春·山东枣庄·高一统考期中)ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sinsincossincosaAbCAcAB.(1)求sinsinAC的值;(2)若BD是ABC的角平分线.(i)证明:2··BDBABCDADC;(ii)若1a,求BDAC的最大值.【答案】(1)12(2)(i)证明见解析;(ii)322【详解】(1)因为ABC中,4sinsincossincosaAbCAcAB,故24sinsinsincossinsincossin(sincossincos)ABCACABCBAAB2sinsinsinCABC,因为(0)sinsin0,,π,,ACAC,故sin1sin2AC;(2)(i)证明:ABD△中,由正弦定理得sinsinADABABDADB①,又2222cosABADBDADBDADB②,同理在BCD△中,sinsinCDBCCBDCDB③,2222cosBCCDBDCDBDCDB④,BD是ABC的角平分线,则ABDCBD,则sinsinABDCBD,又πADBCDB,故sinsincoscos0,ADBCDBADBCDB,故①÷③得ADABCDBC⑤,即,ADABCDBCACABBCACABBC,由CD②AD④得,222CDABADBCCDADADCDCDADBD2CDADACACBD,则222CDABADBCBDCDADAC22BCABABBCCDADBABCDADCABBC,即2··BDBABCDADC;(ii)因为sin1sin2AC,故2ca,则由⑤得2ADABCDBC,则,213
本文标题:专题05 解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)(解析版)
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