专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)（解析版）

专题03三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................1三、专项训练......................................................8一、必备秘籍sinfxAxk实根问题，换元法令tx将函数()fx化简为sinyAt，在利用正弦函数sint的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型题型1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数yfx的图象由函数πcos26yx的图象向左平移π6个单位长度得到，则yfx的图象与直线1122yx的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】因为πcos26yx向左平移π6个单位所得函数为πππcos2cos2sin2662yxxx，所以sin2fxx，而1122yx显然过10,2与1,0两点，作出fx与1122yx的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222xxx，即3π3π7π,,444xxx处fx与1122yx的大小关系，当3π4x时，3π3πsin142f，13π1π4284312y；当3π4x时，3π3πsin142f，13π13π412428y；当7π4x时，7π7πsin142f，17π17π412428y；所以由图可知，fx与1122yx的交点个数为3.故选：C.2．（2023·浙江·校联考二模）函数π2sin22fxx的图象向左平移π6个单位长度后对应的函数是奇函数，函数13cos2gxx．若关于x的方程12fxgx在0,π内有两个不同的解α，β，则cos的值为（）A．24B．24C．12D．22【答案】B【详解】函数π2sin22fxx的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数的解析式为π2sin23yx，因为所得函数为奇函数，所以π2sin03，则有ππ,Z3kk，因为π2，所以π3，所以π2sin2sin23cos23fxxxx，π()sin2cos22sin24fxgxxxx，因为0,πx，所以ππ9π2,444x，所以由π1()2sin242fxgxx，可得π2sin244x，所以ππ3π2223π442，且π2sin244，则5π4，所以5ππ2cos()cos(2)sin(2)444，故选:B.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数π()sin(2)2fxx满足ππ43ff，若fx在区间π,2t上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（）A．25π37π,2424B．25π49π,2424C．37π49π,2424D．37π49π,2424【答案】C【详解】由题意可知，fx的最小正周期2ππ2T，因为πππ34124T，可知ππ7π34224x为fx的一条对称轴，所以fx在7π24x之后的零点依次为7π13π24424T，7π325π24424T，7π537π24424T，7π749π24424T，…，若fx在区间π,2t上恰有3个零点，所以37π49π2424t.故选：C.4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于x的方程22sin3sin210xxm在π,π2上有实数解，则实数m的取值范围是.【答案】[2,1]【详解】原方程22sin3sin210xxm等价于2π13sin22sin3sin2cos212sin216mxxxxx即函数1ym，π2sin216yx在π,π2上有交点，∵π,π2x，∴π7π13π2,666x，π1sin21,62x，故3,0y，则310,2,1mm.故答案为：[2,1]5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数cosfxx图象上各点的横坐标变为原来的12倍，然后再向右平移12个单位得到函数ygx的图象，则gx的解析式为；若方程25gx在0,x的解为1x、2x，则12cosxx.【答案】cos26gxx25【详解】将函数cosfxx图象上各点的横坐标变为原来的12倍，然后再向右平移12个单位得到函数ygx的图象，则cos2cos2126gxxx，当0,x时，112666x，由题意可得1225gxgx，即1223cos2cos26652xx，令26x，得712x，可得函数ygx的图象关于直线712x对称，1276xx，所以，1222266xx，且12662x，121211cos22cos22cos2226666xxxxxx2211217cos222cos212166525xx，122121711cos22425cos2225xxxx，12662x，163x，121117752,6662xxxxx，122cos5xx.故答案为：cos26gxx；25.6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数2()2sincos2sin4sinsin0,π2xfxx，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数fx的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称且00f；②函数fx的图象的一个对称中心为π,012且π06f.(1)求函数fx的解析式；(2)将函数fx图象上所有点的横坐标变为原来的10tt倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图象，若函数ygx在区间π0,3上恰有3个零点，求t的取值范围.【答案】(1)π()2sin(2)6fxx(2)131944,【详解】（1）由题意可得2()2sincos2sin4sinsin2xfxx2sincos2sinsin(22cos)2sincos2cossinxxxx，)2sin(x，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，故π2π4,24T,故()2sin(2)fxx.若选①，函数fx的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为(]π2sin[)23yx，由题意知该函数为偶函数，故2ππππ,Z,π,Z326kkkk，由于π且00f，即sin0，故π6，故π()2sin(2)6fxx；若选②，函数fx的图象的一个对称中心为π,012且π06f，则ππππ,Z6,6kkk，由于π且π06f，即0sin(3π)，故π6，故π()2sin(2)6fxx；（2）由题意可得ππππ2ππ2sin20,2636,,,636tgxtxxtx，由于ygx在区间π0,3上恰有3个零点，故2ππ2π3π36t，即13944,1t.7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数sinfxAx（其中π0,0,2A）的部分图像如图所示，将函数fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数gx的图象．(1)求fx与gx的解析式；(2)令Fxfxgx，求方程2Fx在区间0,2π内的所有实数解的和．【答案】(1)π2sin23fxx，π2cos23gxx(2)17π6【详解】（1）由图可知，2A，函数fx的周期7ππ2π4π123T，所以2，所以2sin2fxx，又7π7π2sin2126f，所以7πsin16，所以7π3π2π62k，所以ππ,Zkk23，又π2，所以π3，所以π2sin23fxx，因为将函数fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数gx的图象，所以πππ2sin22cos2433gxxx；（2）Fxfxgxππ2sin22cos233xxππ22sin234xπ22sin212x，由2π22sin212Fxx，得2πsi21n12x，因为0,2πx，所以ππ49π2,121212x，所以ππ2126x或5π6或13π6或17π6，所以π24x或3π8或25π24或11π8，所以方程2Fx在区间0,2π内的所有实数解的和为π3π25π11π17π2482486．三、专项训练1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数3sin22fxx图象所有点的纵坐标伸长到原来的43倍，并沿x轴向左平移π02个单位长度，再向上平移2个单位长度得到gx的图象．若gx的图象关于点π2,63对称，则函数gx在π3π,44上零点的个数是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】将fx图象所有点的纵坐标伸长到原来的43倍，得到483sin224sin233yxx的图象，继续沿x轴向左平移π02个单位长度，再向上平移2个单位长度得到4sin2223gxx的图象，∵gx的图象关于点π2,63对称，得π2π3k，kZ．又∵π02，∴π3，∴2π24sin233gxx．令2π23tx，当π3π44x时，有π13π66t，由24sin03t，可得1sin6t，π13π