圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义在椭圆)0(12222babyax中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若PBPAkk,存在，则22abkkPBPA。（反之亦成立）在双曲线)0,0(12222babyax中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若PBPAkk,存在，则22abkkPBPA。（反之亦成立）★焦点在Y轴上时，椭圆满足22bakkPBPA，双曲线满足22bakkPBPA例、已知椭圆)0(12222babyax的长轴长为4，若点P是椭圆上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交与M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为k1、k2。若k1k2=41，则椭圆的方程为。变式：1、设点A，B的坐标为（-2，0），（2，0），点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为41，则曲线C的方程为。2、设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是O，曲线C与X轴相交于两点M（-2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为43，则OP的最小值是。3、已知ABC的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC，BC所在直线斜率之积为m（0m），求顶点C的轨迹。4、P是双曲线)0,0(12222babyax上一点，M，N分别是双曲线的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为51，则双曲线离心率为。5、已知椭圆12322yx的左右顶点分别是A、B，M是椭圆上异于A、B的动点，求证：MBMAkk为定值。6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；第三定义的应用例、椭圆1422yx的左右顶点分别是A，B，点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS，BS与直线310:xl分别交于点M、N，求线段MN长度的最小值。1(,0)Aa2(,0)Aa(0)am1A2ACCCm变式：已知A,B分别为曲线C：22xa+2y=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形22abkkOBOA框架一：已知椭圆)0(12222babyax，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足OBuOAOM。则有如图框架。（已知任意两个，可以推导第三个）。相应的双曲线中有220abkkBOA，当焦点在Y轴上时，椭圆满足220bakkBOA，双曲线满足220bakkBOA。例、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与(3,1)a共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值变式：已知在椭圆)0(12222babyax，A，B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点满足OBuOAOM且22=1，证明：220abkkBOA框架二：已知椭圆)0(12222babyax，A，B是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足OBuOAOM。则有如下框架：220abkkBOA222222ubyax。例、设动点P满足ONOMOP2，其中，M，N是椭圆12422yx上的点，直线OM、ON的斜率之积为21，求动点P的轨迹方程。奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆变式：设动点M满足OBuOAOM，其中A、B是椭圆)0(12222babyax上的点，且220abkkBOA。证明：P的轨迹方程为222222ubyax。框架三：已知动直线l与椭圆)0(12222babyax交于),(),,(2221yxQxxP两个不同的两点，且OPQSOPQ的面积为，其中O为坐标原点。有如下框图。220abkkQOP2abSOPQ22221byy22221axx例、已知直线l与椭圆C:22132xy交于11,Pxy,22Qxy两不同点，且OPQ的面积S=62,其中O为坐标原点。（Ⅰ）证明2212xx和2212yy均为定值（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得62ODEODGOEGSSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.变式：已知l与椭圆)0(12222babyax交于),(),,(2221yxBxxA两个不同的两点，已知),(),,(2211byaxnbyaxm，若0nm，且椭圆离心率为23，又椭圆经过点)1,23(，O为坐标原点。（1）求椭圆标准方程。（2）若直线l过椭圆的焦点F（0，c），求直线l的斜率k。（3）证明：AOB的面积为定值。