素养拓展21 数列中的结构不良问题（解析版）

1、【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）一、数列中的结构不良问题1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．2．数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于nnab型数列，其中na是等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nnaa型数列，其中na是公差为0dd的等差数列，利用裂项相消法求和．3．常见的裂项公式：（1）1111nnkknnk；（2）1111212122121nnnn；（3）1111122112nnnnnnn；（4）11nnkknnk；（5）1121121212121nnnnn。

2、．【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面二、题型精讲精练一、知识点梳理①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+na与nS关系式设(0)nSanba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为na也是等差数列，所以222abaaab，解得0b；所以221naan，21aa，故22133aaa.[方法二]：待定系数法设等差数列na的公差为d，等差数列nS的公差为1d，则11(1)nSand，将1(1)2nnnSnad代入11(1)nSand，化简得2222211111112222ddnandnaddnad对于nN恒成立．则有21。

3、21111112,2440,ddadaddad，解得111,2dada．所以213aa．选①③作条件证明②：因为213aa，na是等差数列，所以公差2112daaa，所以21112nnnSnadna，即1nSan，因为11111nnSSanana，所以nS是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设(0)nSanba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为213aa，所以2323aabab，解得0b或43ab；当0b时，221,21naaaan，当2n时，2-1-2nnaaa满足等差数列的定义，此时na为等差数列；当43ab时，4=3nSanbana，103aS不合题意，舍去.综上可知na为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213aa，所以11Sa，21212Saaa，因为nS也为等差数。

4、列，所以公差1211dSSa，所以1111nSandna，故21nSna，当2n时，221111121nnnaSSnanana，当1n时，满足上式，故na的通项公式为121nana，所以1123nana，112nnaaa，符合题意.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列na的前n项和为1,1nSa，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248SSS、、成等比数列，②251072aaa．(1)求数列na的通项公式；(2)若11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)21nan(2)21nnTn【分析】（1）先设等差数列{}na的公差为(0)dd，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项1a与公差d的方程，解出d的值，即可计算出数列{}na的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}nb的通项公式，再运用裂项相消法即。

5、可计算出前n项和nT．【详解】（1）由题意，设等差数列{}na的公差为(0)dd，方案一：选择条件①41121816,43442822,8SadaSadddSa，根据248SSS、、成等比数列得2428SSS,代入得1121462828addaad，又11a，化简整理，可得220dd，由于0d，所以2d，12(1)21nann，*nN．方案二：选择条件②由251072aaa，可得211149(6)2adadad，又11a，解得2d，12(1)21nann，*nN（2）由（1）可得111111(21)(21)22121nnnbaannnn，则12nnTbbb1111111112323522121nn111111123352121nn111221n21nn．2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）。

6、设nS为等差数列na的前n项和，nb是正项等比数列，且11521,3abab.在①3314ab，②1581ab，③424SS这三个条件中任选一个，回答下列问题：(1)求数列na和nb的通项公式；(2)如果*,mnabmnN，写出,mn的关系式()mfn，并求(1)(2)(3)(2020)ffff的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)121,3nnnanb(2)11312nm，20203110104【分析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为(0)qq，根据所选条件得到方程，求出d、q，即可求出通项公式；（2）由（1）可得1213nm，即可得到m、n的关系，从而得到11312nfn，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）若选①，3314ab，设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为(0)qq，则21214143dqdq，解得23dq或29892dq（舍去），。

7、则21nan，13nnb.若选②，1581ab，设等差数列na的公差为d，等比数nb的公比为(0)qq.因为111ab，所以45181bqb，解得3q，所以13nnb.又因为253ab，所以1433d，解得2d，所以21nan.若选③，424SS，设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为(0)qq.因为11521,3abab，则4344(2)2143dddq，解得23dq，则21nan，13nnb.（2）因为mnab，所以1213nm，即11312nm，即11312nfn，所以0120191(1)(2)(3)(2020)3131312ffff0120191333202022020202011331202010102134.3．（2023·全国·高三专题练习）在①a4是a3与a5﹣8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．。

8、在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若21lognnbna，求数列1nb的前n项和Tn．【答案】(1)2nna(2)1nn．【分析】（1）选①利用等差中项公式与等比通项公式可求解；选②利用等差中项公式与等比求和公式可求解；（2）求出1nb的通项结合裂项法求和即可．（1）选①：因为a3，a4，a5﹣8成等差数列，所以2a4＝a3+a5﹣8，所以111164168aaa，解得12a，所以2nna．选②：因为S2，S3+4，S4成等差数列，所以2（S3+4）＝S2+S4，即32411112121224121212aaa所以1114818aa，解得12a，所以2nna；（2）因为2nna，所以221log1log21nnnbnannn所以111111nbnnnn所以11111111223111nnTnnnnL4．（20。

9、23秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，11a，且*112NnnnaSn．(1)证明：数列nnS为等差数列；(2)选取数列nS的第2nNn项构造一个新的数列nb，求nb的前n项和nT．【答案】(1)证明见解析(2)1212nnnT【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；（2）先求得nb的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得nT．【详解】（1）解：证明：∵11nnnaSS，∴由已知得*112NnnnnSSSn，即*112NnnnSnSn．∴数列nnS是以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知数列nnS是以2为公差的等差数列，又11a，首项为1111Sa，11221nnSnn，2112nnSnn．2122nnnbS．231112211111222112222212nnnnTnnn．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考。

10、阶段练习）在①21nnaS；②111,21nnaSS；③221110,1,2nnnnnaaaaaa，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列na的前n项和为Sn，且满足.(1)求na与nS；(2)记(21)nnbna，求数列nb的前n项和Tn.【答案】(1)12nna，21nnS(2)32(23)nnTn【分析】（1）根据na与nS的关系，逐个条件进行列方程，计算求解即可.（2）利用错位相减法进行计算求解即可.【详解】（1）选①，由①得，21nnSa，1n时，1121aa，得11a；2n时，1122nnnnSSaa，得12nnaa，故na为首项是1，公比是2的等比数列，12nna；122112nnnS.选②，由②得，1112nnnnSSaS，得11nnaS，1n时，211aa；2n时，110nnnnaSaS，整理得12nnaa，12nnaa，故na为等比数列，首项为11a，公比2q=，故12nna，12211。