第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第54讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）题型目录一览①离散型随机变量②离散型随机变量的分布列③离散型随机变量的分布列的性质④离散型随机变量的分布列的均值⑤离散型随机变量的分布列的方差一、离散型随机变量的分布列1.随机变量的定义在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，，，…表示．注：①有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，0X表示反面向上，1X表示正面向上．②随机变量的线性关系：若X是随机变量，YaXb，ab，是常数，则Y也是随机变量．2.离散型随机变量的定义对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．注：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．3.离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为12inxxxx，，，，，，X取每一个值ix(12)in，，，的概率()iPXxip，以表格的形式表示如下：X1x2xixnxP1p2pipnp一、知识点梳理我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式()iiPXxp，12in，，，表示X的分布列．4.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）0ip，12in，，，；（2）121nppp．注：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．二、离散型随机变量的均值与方差1.均值若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp称1122()1iinnEXxpxpxpxp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2.均值的性质（1）()ECC（为常数）．（2）若YaXb，其中ab，为常数，则Y也是随机变量，且()()EaXbaEXb．（3）1212()()()EXXEXEX．（4）如果12XX，相互独立，则1212()()()EXXEXEX．3.方差若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp则称21(()())niiiDXxEXp为随机变量X的方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标准差．4.方差的性质（1）若YaXb，其中,ab为常数，则Y也是随机变量，且2()()DaXbaDX．（2）方差公式的变形：22()()[()]DXEXEX．C二、题型分类精讲题型一离散型随机变量的概念策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．【典例1】（单选题）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性【答案】C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.【题型训练】一、单选题1．在下列表述中不是离散型随机变量的是（）①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X．A．①中的XB．②中的XC．③中的XD．④中的X【答案】C【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.【详解】①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.故选：C2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出3的所有可能的情况，即得.【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故3表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．3．①某座大桥一天经过的车辆数为X；②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；③一天之内的温度为X；④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.上述问题中的X是离散型随机变量的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，③一天之内的温度是连续型变量，④一次射击中的得分是可一一列举，由离散随机变量的定义知：①②④.故选：B4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．5．下面是离散型随机变量的是（）A．电灯泡的使用寿命XB．小明射击1次，击中目标的环数XC．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值XD．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X【答案】B【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0,1,2,...,10，故X为离散型随机变量，故B符合题意；对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.题型二离散型随机变量的分布列策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤【典例1】（单选题）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则2PX（）A．45B．25C．15D．35【答案】A【分析】由题意，令Xk表示前k个球为白球，第1k个球为红球，此时(2)(0)(1)(2)PXPXPXPX，再进行计算即可求解．【详解】令Xk表示前k个球为白球，第1k个球为红球，此时214244321(0),(1),(2)6365156545PXPXPX，则1414(2)(0)(1)(2)31555PXPXPXPX．故选：A．【题型训练】一、单选题1．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X，则X的分布列为（）A．X12P1212B．X01P1212C．X012P141214D．X012P121414【答案】C【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为12，且相互独立，X的取值可能为0，1，2.1110224PX，11112222PX，1112224PX，所以X的分布列为：X012P141214故选：C.2．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案.【详解】随机变量ξ的可能值为1，2，3，2435315CPC，23353210CPC，22351310CPC.故选：C3．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【答案】D【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.【详解】易知X的可能取值为0，1，2，00.20.30.06PX，10.80.30.20.70.38PX，20.80.70.56PX，故X的分布列为X012P0.060.380.56故选：D.二、多选题4．已知随机变量的分布列为：210123P16131616112112若223Px，则实数x的值可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【分析】求出2的分布列，对各选项依次判断即可.【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量2的可能取值为0，1，4，9，2的分布列为：21006PP，2111111362PPP，21114226124PPP，219312PP，用表格表示为20149P161214112∴对于A，1x时，22121063PP，故选项A错误；对于B，2x时，222112201623PPP，故选项B正确；对于C，3x时，222112301623PPP，故选项C正确；对于D，4x时，222112401623PPP，故选项D正确.故选：BCD.5．已知随机变量ξ的分布列为：ξ－2－10123P112312412112212112若211()12Px，则实数x的值可以是（）A．5B．7C．9D．10【答案】ABC【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量2的分布列，再找出满足211()12Px的x即可.【详解】由随机变量的分布列，知：2的可能取值为0,1,4,9，且24(0)12P，2314(1)121212P，2123(4)121212P，21(9)12P，则244311(4)12121212P，2(9)1P.若211()12Px，则实数x的取值范围是49x.故选：ABC.6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛