第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）题型目录一览①函数的奇偶性②函数奇偶性的应用③函数的周期性④函数的对称性⑤函数性质的综合应用1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有) ()(fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2.函数的对称性(1)若函数()yfxa＋为偶函数，则函数()yfx关于xa对称．(2)若函数()yfxa＋为奇函数，则函数()yfx关于点(0)a，对称．(3)若()()2fxfax，则函数()fx关于xa对称．(4)若2(2)()fxfaxb＋，则函数()fx关于点()ab，对称．3.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有(()fxTfx），那么就称函数()yfx为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()fx的最小正周期.一、知识点梳理【常用结论】1.奇偶性技巧（1）若奇函数()yfx在0x处有意义，则有(0)0f；（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.(3)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01xxafxmxa()或函数1()()1xxafxma．②函数()()xxfxaa．③函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmfxxmxm④函数2()log(1)afxxx或函数2()log(1)afxxx．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1xmfxmxa或函数2()()1xmfxmmRa．偶函数：①函数()()xxfxaa．②函数()log(1)2mxamxfxa．③函数(||)fx类型的一切函数．2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yfx有两条对称轴xa，()xbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba.4.对称性技巧（1）若函数()yfx关于直线xa对称，则()()faxfax．（2）若函数()yfx关于点()ab，对称，则()()2faxfaxb．（3）函数()yfax与()yfax关于y轴对称，函数()yfax与()yfax关于原点对称．一、单选题1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（）A．fxxB．23xfxC．2fxxD．3fxx【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，fxx为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，23xfx为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，2fxx在,0为减函数，不合题意，舍.对于D，3fxx为R上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2021·全国·统考高考真题）设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A．11fxB．11fxC．11fxD．11fx二、题型分类精讲真题刷刷刷【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.3．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff，而21111133333ffff，故5133f.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数21(),()sin4fxxgxx，则图象为如图的函数可能是（）A．1()()4yfxgxB．1()()4yfxgxC．()()yfxgxD．()()gxyfx【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，21sin4yfxgxxx，则212sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除C.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图像，则该函数是（）A．3231xxyxB．321xxyxC．22cos1xxyxD．22sin1xyx【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设321xxfxx，则10f，故排除B;设22cos1xxhxx，当π0,2x时，0cos1x，所以222cos2111xxxhxxx，故排除C;设22sin1xgxx，则2sin33010g，故排除D.故选：A.6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，2fx为偶函数，21fx为奇函数，则（）A．102fB．10fC．20fD．40f【答案】B【分析】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出10f，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数2fx为偶函数，则22fxfx，可得31fxfx，因为函数21fx为奇函数，则1221fxfx，所以，11fxfx，所以，311fxfxfx，即4fxfx，故函数fx是以4为周期的周期函数，因为函数21Fxfx为奇函数，则010Ff，故110ff，其它三个选项未知.故选：B.7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A．3B．2C．0D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的1,2,,6fff的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为fxyfxyfxfy，令1,0xy可得，2110fff，所以02f，令0x可得，2fyfyfy，即fyfy，所以函数fx为偶函数，令1y得，111fxfxfxffx，即有21fxfxfx，从而可知21fxfx，14fxfx，故24fxfx，即6fxfx，所以函数fx的一个周期为6．因为210121fff，321112fff，4221fff，5111fff，602ff，所以一个周期内的1260fff．由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由fxyfxyfxfy，联想到余弦函数和差化积公式coscos2coscosxyxyxy，可设cosfxax，则由方法一中02,11ff知2,cos1aa，解得1cos2，取3，所以2cos3fxx，则2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy，所以2cos3fxx符合条件，因此()fx的周期263T，02,11ff，且21,32,41,51,62fffff，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221kfk（）A．21B．22C．23D．24【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2fxfx，从而得到352110fff，462210fff，然后根据条件得到(2)f的值，再由题意得到36g从而得到1f的值即可求解.【详解】因为()ygx的图像关于直线2x对称，所以22gxgx，因为()(4)7gxfx