考点巩固卷20椭圆方程及其性质(十大考点)（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点巩固卷20椭圆方程及其性质(十大考点)考点01椭圆的定义1．已知椭圆22:11612xyC的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上的动点，1mPF，2nPF，则4mnmn的最小值为（）A．98B．54C．20379D．20379【答案】A【分析】根据椭圆定义得8mn，再利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为点P是椭圆22:11612xyC上的动点，1mPF，2nPF，所以8mn，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以441141141495528888mnmnmnmnmnnmnmnmnm，当且仅当4mnnm即816,33mn时，等号成立.故选：A.2．已知点,0Mxyx满足方程2222(1)(1)4xyxy，点0,2,0,2AB．若MA斜率为1,kMB斜率为2k，则12kk的值为（）A．43B．34C．12D．2【答案】A【分析】设120101FF,,,，根据题意分析可知点M在以12,FF为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设120101FF,,,，则2222(1)(1)4xyxy，可得12124MFMFFF，即点M在以12,FF为焦点的椭圆上，且2222,1,3acbac，所以点M的轨迹为221034xyx，整理得22344xy，由题意可知：1222,yykkxx，所以221222224443344yyyykkxxxy.故选：A.3．已知点A，B是椭圆22:194xyC上关于原点对称的两点，1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，若12AF，则1BF（）A．1B．2C．4D．5【答案】C【分析】先证明四边形12AFBF是平行四边形，再利用椭圆的定义求出2||4AF即得解.【详解】因为12||||,||||OAOBOFOF,所以四边形12AFBF是平行四边形.所以12||||BFAF.由椭圆的定义得21||23||624AFAF.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以14BF.故选：C4．椭圆221169xy上的一点M到左焦点1F的距离为2,N是1MF的中点，则ON等于.【答案】3【分析】设椭圆的右焦点2F，则根据椭圆有定义可求出2MF，再利用三角形的中位线定理可求得答案.【详解】设椭圆的右焦点2F，连接2MF，则由128MFMF，知2826MF.又点O为12FF的中点，点N为1MF的中点，所以2132ONMF.故答案为：35．已知椭圆22:132xyC的左、右焦点分别为12,,FFM为椭圆C上任意一点，N为圆E：22(5)(3)1xy上任意一点，则1MNMF的最小值为.【答案】423【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得||||1MNME，再结合椭圆定义将1MNMF化为2||||23MNMF，结合||||1MNME以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M为椭圆22:132xyC上任意一点，N为圆E：22(5)(3)1xy上任意一点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故23,,105,FE，故12||||23||||1,MFMFMNME，当且仅当,,MNE共线时取等号，所以12||23||MMMNMFNF222||||23||||231||231MNMFMEMFEF，当且仅当2,,,MNEF共线时取等号，而222||(51)(30)5EF,故1MNMF的最小值为5231423，故答案为：4236．椭圆22:12516xyC，12,FF是左、右焦点，点2,2Q，点P为椭圆上一动点，则1PFPQ＋的最大值为，最小值为．【答案】105/510105/510【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得1PFPQ＋的取值范围，进而确定正确答案.【详解】椭圆22:12516xyC，∴5,4,3abc，∴12,,,0330FF.如图所示，点Q在椭圆内部，∵点P为椭圆上的点，则12210PFPFa，∴1210PFPF，∵1210PFPQPQPF＋，又225PQPFQF，∴255PQPF，即1105,105PFPQ＋.故答案为：105；105资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点02椭圆的标准方程7．（多选）如果方程22216xyaa表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（）A．2，B．3，C．62，D．3，【答案】BC【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.【详解】焦点在x轴上，则标准方程中26aa，解得3a或2a．又20a，60a，得6a，所以3a或62a．故选:BC．8．已知m、n均为实数，方程222213xymnmn表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是.【答案】1,【分析】由椭圆的定义可得20mn，230mn，223mnmn，再分223mnmn和223mnmn两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解.【详解】由题意得20mn，230mn，223mnmn，所以2mn，①若223mnmn，即2mn时，则焦点在x轴上，则2234mnmn，所以22mn，代入20mn，230mn，2mn，得203202nnnnnn，解得3n；②若223mnmn，即2mn时，则焦点在y轴上，则2234mnmn，所以22mn，代入20mn，230mn，2mn，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得203202nnnnnn，解得1n；综上，n的取值范围是1,.故答案为：1,.9．已知椭圆的两焦点为124,0,4,0FF，点P在椭圆上．若12PFF△的面积最大为12，则椭圆的标准方程为．【答案】221259xy【分析】由题意可知当P在y轴上时12PFF△的面积最大，从而可求出b，再结合c可求出a，从而可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，当P在y轴上时12PFF△的面积最大，所以18122b，所以3b．又4c，所以22225abc，所以椭圆的标准方程为221259xy．故答案为：221259xy10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在原点，一个焦点坐标为0,5，短轴长为4；(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.【答案】(1)221294yx(2)22143xy【分析】（1）根据题意求出,ab，再由焦点位置得出椭圆方程；（2）由题意求出,ab，根据焦点在x轴写出方程.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由题意得：5c，24b，故22242529abc，因为焦点在y轴上，故椭圆方程为221294yx.（2）如图，由题意得：||2aAF，||1BFac，所以1c，222413bac，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为：22143xy.11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距为215，且经过点0,4；(2)焦距为4，且经过点5,0．【答案】(1)22116yx(2)2215xy或22195yx【分析】（1）利用待定系数法求出,ab可得结果；（2）讨论焦点位置，求出,ab可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab，依题意得2222216012215abcabc，解得4115abc，所以该椭圆的标准方程为22116yx.（2）当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，依题意得2c，5a，则222541bac，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故椭圆的标准方程为2215xy.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为22221(0)yxabab，依题意得2c，5b，则222549abc，故椭圆的标准方程为22195yx.12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点为123,0F，长轴长是短轴长的2倍；(2)经过点2,22P，离心率为22，焦点在x轴上；(3)经过两点31,2A，2,0B.【答案】(1)221164xy(2)2212010xy(3)22143xy【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；(2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；(3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为2210,0,mxnymnmn的形式，再把两点坐标代入求解即可.【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：222210xyabab，所以由题设有：222232abccab，解得4223abc，故椭圆的标准方程为：221164xy.（2）根据题意可设椭圆的标准方程为：222210xyabab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由题设有：2222222481abcceaab，解得222010ab，故椭圆的标准方程为：2212010xy.（3）根据题意可设椭圆的标准方程为：2210,0,mxnymnmn，所以由题设有：91441mnm，解得1413mn，故椭圆的标准方程为：22143xy.考点03椭圆的焦点三角形问题13．已知椭圆C：22143xy的左､右焦点分别是1F，2F，04,3My为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（）A．12MFF△的周长为6B．12MFF△的面积为153C．12MFF△的内切圆的半径为159D．12MFF△的外接圆的直径为3211【答案】D【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【详解】由题意知，2a，3b，1c，由椭圆的定义知，1224MFMFa，1222FFc，∴12MFF△的周长为1212426MFMFFF，即A正确；将04,3My代入椭圆方程得22043143y，解得0153y，∴12MFF△的面积为12011523SFFy，即B正确；设12MFF△的内切圆的半径为r，则121212SMFMFFFr，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即151632r，∴159r，即C正确；不妨取415,33M，则243MF，183MF，∴12MFF△的面积为12121sin2SMFMFFMF，即1215148sin3233FMF，∴12315sin16FMF，由正弦定理知，12MFF△的外接圆的直径121223215sin4531516FFDFMF，即D错误，故选:D.14．（多选）若P是椭圆2214xykk上一点，1F，2F为其左右焦点，且12FPF不可能为钝角，则实数k的值可以是（）A．2B．3C．4D．5【答案】CD【分析】根据椭圆的几何性质可判断P为椭圆的短轴端点时，此时12FPF最大，即可列不等式求解.【详解】由椭圆的性质可得当点P为椭圆的短轴端点时，此时12FPF最大，若12FPF不可能为钝角，当点P为椭圆的短轴断点时，则1210