第02讲 两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲两条直线的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2022年上海卷第7题，5分2020年III卷第8题，5分2020年上海卷第7题，5分高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．知识点一：两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直11112222:0:0lAxByClAxByC1221122100且ABABBCBC12120AABB111222::lykxblykxb（斜率存在）11,22::lxxlxx（斜率不存在）1212,kkbb或1212,,xxxxxx121kk或12与kk中有一个为0，另一个不存在．知识点二：三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)PxyPxy的距离公式为22121212||()()PPxxyy．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离22||.OPxy2、点到直线的距离点000(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离0022||AxByCdAB特别地，若直线为l：x=m，则点000(,)Pxy到l的距离0||dmx；若直线为l：y=n，则点000(,)Pxy到l的距离0||dny3、两条平行线间的距离已知12,ll是两条平行线，求12,ll间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0lAxByClAxByC，则1l与2l之间的距离1222||CCdAB注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式双根式22111222()fxaxbxcaxbxc型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．【解题方法总结】1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，Pxy关于点00()，Qxy的对称点为22()，Pxy，则根据中点坐标公式，有12012022xxxyyy可得对称点22()，Pxy的坐标为0101(22)，xxyy2、点关于直线对称点11()，Pxy关于直线:0lAxByC对称的点为22()，Pxy，连接PP，交l于M点，则l垂直平分PP，所以PPl，且M为PP中点，又因为M在直线l上，故可得12121022lPPkkxxyyABC，解出22()，xy即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线1:0laxbyc，关于直线2:0ldxeyf（两直线不平行）的对称直线3l第一步：联立12，ll算出交点00()，Pxy第二步：在1l上任找一点（非交点）11()，Qxy，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，Qxy第三步：利用两点式写出3l方程5、常见的一些特殊的对称点()，xy关于x轴的对称点为()，xy，关于y轴的对称点为()，xy．点()，xy关于直线yx的对称点为()，yx，关于直线yx的对称点为()，yx．点()，xy关于直线xa的对称点为(2)，axy，关于直线yb的对称点为(2)，xby．点()，xy关于点()，ab的对称点为(22)，axby．点()，xy关于直线xyk的对称点为()，kykx，关于直线xy=k的对称点为()，kyxk．6、过定点直线系过已知点00()，Pxy的直线系方程00()yykxx（k为参数）．7、斜率为定值直线系斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）．8、平行直线系与已知直线0AxByC平行的直线系方程0AxBy（为参数）．9、垂直直线系与已知直线0AxByC垂直的直线系方程0BxAy（为参数）．10、过两直线交点的直线系过直线1111:0lAxByC与2222:0lAxByC的交点的直线系方程：111222()0AxByCAxByC（为参数）．题型一：两直线位置关系的判定例1．（2023·高二课时练习）直线220xy与420axy互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A．1,4B．0,2C．1,0D．0,12例2．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点(2,)Am和点(,4)Bm的直线为l1，2311:21,:lyxlyxnn.若1223//,llll，则mn的值为（）A．10B．2C．0D．8例3．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线1:250lxay，2:3120laxay，则1a是12ll的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件变式1．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）直线1l：220mxy与直线2l：(1)0xmy平行，则m（）A．1或2B．2C．1D．2变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1l：210axy，2l：30axya，则条件“1a”是“12ll”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件变式3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线12:0,:10lxylaxby，若12ll，则ab（）A．1B．0C．1D．2变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（）A．94(,)77B．5413(,)77C．3813(,)33D．385(,)77变式5．（2023·甘肃陇南·高三统考期中）已知ABC的顶点2,1B，6,3C，其垂心为3,2H，则其顶点A的坐标为A．19,62B．19,62C．19,62D．19,62变式6．（2023·全国·高三专题练习）直线1:11lxayaaR，直线21:2lyx，下列说法正确的是（）A．Ra，使得12ll∥B．Ra，使得12llC．Ra，1l与2l都相交D．Ra，使得原点到1l的距离为3变式7．（2023·全国·高三对口高考）设,,abc分别为ABC中,,ABC所对边的边长，则直线sin0Axayc与直线sinsin0bxByC的位置关系是（）A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合【解题方法总结】判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设1111:0lAxByC（11,AB不全为0），2222:0lAxByC（22,AB不全为0），则：当12210ABAB时，直线12,ll相交；当1221ABAB时，12,ll直线平行或重合，代回检验；当12120AABB时，12,ll直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．题型二：两直线的交点与距离问题例4．（2023·全国·高三专题练习）若直线:3lykx与直线2360xy的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．ππ,63B．ππ,62C．ππ,32D．ππ,62例5．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线1:220lxy，2:20lx，3:0lxky将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个例6．（2023·全国·高三专题练习）若三条直线123:43,:0,:2lxylmxylxmy不能围成三角形，则实数m的取值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．6个变式8．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点(,)Pxy在直线250xy上，O是原点，则OP的最小值为（）A．22B．2C．5D．4变式9．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点00,Pxy在直线34100xy上，则2200xy的最小值为（）A．1B．2C．3D．4变式10．（2023·高二课时练习）已知点,2Pa、2,3A、1,1B，且PAPB，则a.变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知点,4Mx与点2,3N间的距离为72，则x．变式12．（2023·全国·高二课堂例题）已知点2,1A，3,4B，2,1C，则ABC的面积为．变式13．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点3,3P和直线:230ly，点P到直线l的距离为d，则d.变式14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点0,1到直线2ykx的距离的最大值是．变式15．（2023·高二课时练习）过直线1:230lxy与直线2:2380lxy的交点，且到点0,4P的距离为1的直线l的方程为．变式16．（2023·江西新余·高二校考开学考试）若点3,1P到直线:3400lxyaa的距离为3，则a.变式17．（2023·全国·高三专题练习）点0,0，3,4到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.变式18．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线126:0lxy与2:50lxay平行，则1l与2l间的距离是.变式19．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线1:3460lxy与2:6890lxy之间的距离为．变式20．（2023·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线1l与直线2:20lxy平行，且直线1l与2l的距离为1，则直线1l的一般式方程为．【解题方法总结】两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．题型三：有关距离的最值问题例7．（2023·北京·高三强基计划）2222(9)4(3)9xxyy的最小值所属区间为（）A．[10,11]B．(11,12]C．(12,13]D．前三个答案都不对例8．（2023·全国·高三专题练习）已知实数1212,,,xxyy，满足22114xy，22229xy，12120xxyy，则112299xyxy的最小值是．例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面上两点(0,1),(3,6)PQ，在直线yx上取两点,MN使2MN，且使PMMNNQ++的值取最小，则N的坐标为．变式21．（2023·全国·高二专题练习）已知点,PQ分别在直线1:20lxy与直线2:10lxy上，且1PQl，点3,3A，3,0B，则APPQQB的最小值为.变式22．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线:20lkxyk过定点M，点,Pxy在直线210xy上，则MP的最小值是（）A．5B．5C．355D．55变式23．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22xayb可以转化为点,xy到点,a