重难点突破03 直线与圆的综合应用（七大题型）（原卷版）

重难点突破03直线与圆的综合应用目录题型一：距离的创新定义例1．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知(1,0),(1,0),(0,2)ABC，P为ABC内一点，记()||||||fPPAPBPC，则()fP的最小值为，此时sinPBC.例2．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为11,xy，22,xy，则闵氏距离11212,N*ppppDABxxyyp.若点A、B分别在exy和1yx的图像上，则,pDAB的最小值为（）A．12pB．2pC．1peD．pe例3．（2023·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P满足120APBAPCBPC时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且2,3bc，则ababac的最小值是（）A．323B．323C．232D．232变式1．（2023·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为12,,,nAaaa和12,,,nBbbb，这两组数据间的闵氏距离定义为11()nqqABkkkdqab，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若(1,2,3,4),(0,3,4,5)AB，则(1)4ABd；②若(,1),(1,)AaaBbb，其中,abR，则(1)(2)ABABdd；③若(,),(,)AabBcd，其中,,,abcdR，则(1)(2)ABABdd；④若2,,(,1)AaaBbb，其中,abR，则(2)ABd的最小值为328.其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式2．（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则222222(,)(23)(13)(13)(2)Fxyxyxyxy的最小值为（）A．4B．223C．323D．423变式3．（2023·全国·高三专题练习）点M是ABC内部或边界上的点，若M到ABC三个顶点距离之和最小，则称点M是ABC的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若0,2A，1,0B，1,0C时，点0M是ABC的费马点，且已知0M在y轴上，则000AMBMCM的大小等于.变式4．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22()()xayb可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得22()420210fxxxxx的最小值为．题型二：切比雪夫距离例4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义1212,max||,||dABxxyy为两点11(,)Axy，22(,)Bxy的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有,,,dCAdCBdAB；②已知点P（3，1）和直线:210lxy，则4,3dPl；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义121212(,)max,dPPxxyy为两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为．例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义1212,maxdABxxyy，为两点1122,,AxyBxy、的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称,dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作,dPl，给出下列四个命题:①对任意三点,,ABC，都有,,,dCAdCBdAB；②已知点(3,1)P和直线:210lxy，则43dPl，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③变式5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}dABxxyy为两点11(,)Axy、22(,)Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点Q，称(,)dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(,)dPl.（1）求证：对任意三点A、B、C，都有(,)(,)(,)dACdCBdAB；（2）已知点(3,1)P和直线:210lxy，求(,)dPl；（3）定点00(,)Cxy，动点(,)Pxy满足(,)dCPr（0r），请求出点P所在的曲线所围成图形的面积.变式6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||dABxxyy为两点11(,)Axy、22(,)Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称(,)dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(,)dPl，给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有(,)(,)(,)dCAdCBdAB；②已知点(3,1)P和直线:210lxy，则4(,)3dPl；③定义(0,0)O，动点(,)Pxy满足(,)1dPO，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（）A．0B．1C．2D．3变式7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义1212maxdABxxyy，，为两点A11xy，、B22xy，的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称dPQ，的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作dPl，,给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有dCAdCBdAB，，，；②已知点P(2,1)和直线:220lxy,则83dPl，；③定点1200FcFc，、，，动点Pxy，满足122220dPFdPFaca，，＞＞，则点P的轨迹与直线yk(k为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3变式8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直线坐标系中,定义1212maxdABxxyy，，为两点1122AxyBxy，、，的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称aPQ，的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dPl，，给出下列四个命题:（）①对任意三点A、B、C，都有dCAdCBdAB，，，；②已知点P(3,1)和直线:210lxy，则43dPl，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；④定点1200FcFc，、，，动点Pxy，满足122220dPFdPFaca，，＞＞，则点P的轨迹与直线yk(k为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题例7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设11,Axy，22,Bxy，则曼哈顿距离1211,dABxxyy，余弦距离,1cos,eABAB，其中cos,cos,ABOAOB（O为坐标原点）．已知2,1M，,1dMN，则,eMN的最大值近似等于（）（参考数据：21.41，52.24．）A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948例8．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系xOy中，定义1122,,,AxyBxy两点间的折线距离1212(,)dABxxyy，该距离也称曼哈顿距离．已知点(2,0),(,)MNab，若(,)2dMN，则224aba的最小值与最大值之和为（）A．0B．2C．4D．6例9．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点11,Pxy，22,Qxy的曼哈顿距离为1212,DPQxxyy.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC的三个顶点坐标为2,4A，8,2B，12,10C，则ABC的“好点”的坐标为（）A．2,4B．6,8C．0,0D．5,1变式9．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若11,Axy，22,Bxy，则A，B两点的“曼哈顿距离”为2121xxyy，下列直角梯形中的虚线可以作为A，B两点的“曼哈顿距离”是（）A．B．C．D．变式10．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点11,Axy，22,Bxy的曼哈顿距离为：1212,dABxxyy.在此定义下，已知点0,0O，满足,1dOM的点M轨迹围成的图形面积为（）A．2B．1C．4D．2题型四：圆的包络线问题例10．（2023·全国·高三专题练习）设直线系M：cos(2)sin1(02)xy，则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数(3)nn，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.A．0B．1C．2D．3例11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系:cos2sin1Mxy（02），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数3nn，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3B．4C．5D．6例12．（2023·全国·高三专题练习）设直线系:cos(2)sin1(02)Mxy，对于下列四个结论：（1）当直线垂直于x轴时，0或；（2）当6时，直线倾斜角为120；（3）M中所有直线均经过一个定点；（4）存在定点P不在M中任意一条直线上．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②④变式11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设有一组圆kC：224132xkykk（*kN）.下列四个命题中真命