重难点突破12 双切线问题的探究（六大题型）（原卷版）

重难点突破12双切线问题的探究目录双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.解题思路：①根据曲线外一点00Pxy，设出切线方程00yykxx．②和曲线方程联立，求出判别式0．③整理出关于双切线斜率12kk、的同构方程．④写出关于12kk、的韦达定理，并解题．题型一：定值问题例1．（2023·河南·高三竞赛）已知抛物线C：22xy与直线l：1ykx没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：PMQNPNQM.例2．（2023·高二单元测试）已知抛物线C：220ypxp的焦点F与椭圆22143xy的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值．例3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为O，抛物线为2:2(0)Gxpyp与双曲线22133yx在第一象限的交点为P，F为双曲线的上焦点，且OPF△的面积为3．(1)求抛物线G的方程；(2)已知点(2,1)M，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于C，D，求MAB△与MCD△的面积之比．变式1．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线2:2Expy（p为常数，0p）.点00,Mxy是抛物线E上不同于原点的任意一点.(1)若直线00:2xlyxy与E只有一个公共点，求p；(2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为,AB，且直线PA，PB与x轴分别交于C，D两点.①证明：PAPB②试问PCABPBCD是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式2．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线21:20Cypxp上一点1,Qa到焦点的距离为3.(1)求a，p的值；(2)设P为直线=1x上除1,3，1,3两点外的任意一点，过P作圆222:23Cxy的两条切线，分别与曲线1C相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.题型二：斜率问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:2222xyab=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.例5．（2023·全国·高三专题练习）设点P为抛物线2:yx外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．（Ⅰ）若点P为(1,0)，求直线AB的方程；（Ⅱ）若点P为圆22(2)1xy上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为1k，2k，求1211||kk的取值范围．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为154，1F，2F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且12PFF△的周长是8215．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A，B两点，使得以AB为直径圆过原点，若存在写出直线方程；(3)设圆224:9Txty，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且(1,3)t时，求EF的斜率的取值范围．变式3．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆229:Mxayb，圆心M在抛物线2:20Cxpyp上，圆M过原点O且与C的准线相切．(1)求抛物线C的方程；(2)点0,1Q，点P（与Q不重合）在直线:1ly上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,AB．求证：AQOBQO．变式4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知00(4,)(0)Pyy是抛物线2:2(0)Cypxp上一点，过P作圆222:(4)Dxyr(04)r的两条切线（切点为,AB），交抛物线C分别点,,MN且当1r时，15PA.(1)求抛物线C的方程;(2)判断直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.变式5．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知1F、2F分别为椭圆22:14xy的左、右焦点，M为上的一点.(1)若点M的坐标为1,0mm，求12FMF△的面积；(2)若点M的坐标为0,1，且直线35ykxkR与交于不同的两点A、B，求证：MAMB为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M的坐标为,st，过坐标原点O作圆222:Mxsytr（其中r为定值，01r且sr）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为1k，2k.如果12kk为定值，求OPOQ的取值范围，以及OPOQ取得最大值时圆M的方程.题型三：交点弦过定点问题例7．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．(1)求椭圆C的方程；(2)设点P在直线2xa上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线MN恒过定点．例8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求AP；(2)若圆E：222202xyrr，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN过定点.例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点10,8F，圆心M到直线14y的距离为1,8ddMF．(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线1yx上的动点Q作C的两条切线12,ll，切点分别为,AB，证明：直线AB恒过定点．变式6．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线2:20Cxpyp，过抛物线的焦点F且斜率为34的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，258AB．(1)求抛物线C的方程；(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．变式7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，圆224xy与椭圆C恰有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知结论：若点00,xy为椭圆22221xyab上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221xxyyab．若椭圆C的短轴长小于4，过点(8,)Tt作椭圆C的两条切线，切点分别为,AB，求证：直线AB过定点．变式8．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知0,1P在椭圆222Γ:1(02)4xybb上，圆222:(1)(0)Cxyrr，圆C在椭圆Γ内部.(1)求r的取值范围；(2)过0,1P作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于,AB点（,AB不同于P），直线AB是否过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由.变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：24yx的焦点．(1)过点F且倾斜角为4的直线l与抛物线C交于A，B两点，求AOB的面积；(2)若点T为直线2x上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．变式10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知22xpy0p的焦点为F，且经过F的直线被圆223192xy截得的线段长度的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为O，若过点2,0作直线l与抛物线相交于不同的两点P，Q，过点P，Q作抛物线的切线分别与直线OQ，OP相交于点M，N，请问直线MN是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．变式11．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点为A，离心率为22，且椭圆C经过点21,2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A作圆222:(1)Mxyr（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于BD､两点（BD､异于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.题型四：交点弦定值问题例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,Fc(0)c到直线:20lxy的距离为322．(1)求抛物线C的方程；(2)设点0(Px，0)y为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(3)过（2）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线1l，2l，求1l，2l交点M满足的轨迹方程．例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为22xpy(p＞0)，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记EABMCDSS△△，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线2:2(0)Cypxp，F为焦点，若圆22:(1)16Exy与拋物线C交于,AB两点，且43AB(1)求抛物线C的方程；(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线,PMPN，切点分别为,MN.求证：MFNF恒为定值.变式12．（2023·山东青岛·统考二模）已知O为坐标原点，双曲线2222:10,0xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，离心率等于62，点P是双曲线C在第一象限上的点，直线1PF与y轴的交点为Q，2PQF的周长等于6a，221224PFPF.(1)求C的方程；(2)过圆22:1Oxy上一点W（W不在坐标轴上）作C的两条切线，对应的切点为A，B.证明：直线AB与椭圆22:14xDy相切于点T，且WTABWAWB.题型五：交点弦最值问题例13．（2023·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆E：222210xyabab的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设,Gmn是椭圆E上的动点，过原点О作圆G：2245xmyn的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交丁点A，B，求OAOB的最大值.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的方程为24xy，F为其焦点，过不在抛物线上的一点P作此抛物线的切线,PAPB，,AB为切点.且PAPB.（Ⅰ）求证：直线AB过定点；（Ⅱ）直线PF与曲线C的一个交点为R，求ARAB的最小值.例15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，圆22(1)1yx经过抛物线C的焦点.(1)求C的方程；(2)若直线:40lmxy与抛物线C相交于,AB两点，过,AB两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求ABP面积的最