重难点突破16 圆锥曲线中的定点、定值问题 （十大题型）（原卷版）

重难点突破16圆锥曲线中的定点、定值问题目录1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0Fkm，用一个参数表示另外一个参数()kfm，即可带用其他式子，消去参数k．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0ykgx，只要因式()0gx，就和参数k没什么关系了，或者说参数k不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yykxx或截距式ykxb来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：ykxm，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k和m的关系：m()fk，等式带入消参，消掉m．③参数无关找定点：找到和k没有关系的点．题型一：面积定值例1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点,0,0,AaBb两点，椭圆的离心率为32，O为坐标原点，且1OABS.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.例2．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线C：222210,0xyabab的焦距为26，且焦点到近线的距离为1.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于,PQ两点，O为坐标原点，证明：OPQ△的面积为定值.例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，渐近线方程为02xy，点2,0A在C上；(1)求双曲线C的方程；(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直线的斜率1k，2k满足121kk，直线PQ与直线2x，y轴分别交于M，N两点，求证：AMN的面积为定值.变式1．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆E：222210xyabab过点2,1M，且左焦点为12,0F．(1)求椭圆E的方程；(2)ABC内接于椭圆E，过点4,1P和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足APQDAQPD，证明：PBC面积为定值，并求出该定值．变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知1l，2l既是双曲线1C：2214yx的两条渐近线，也是双曲线2C：22221xyab的渐近线，且双曲线2C的焦距是双曲线1C的焦距的3倍.(1)任作一条平行于1l的直线l依次与直线2l以及双曲线1C，2C交于点L，M，N，求MNNL的值；(2)如图，P为双曲线2C上任意一点，过点P分别作1l，2l的平行线交1C于A，B两点，证明：PAB的面积为定值，并求出该定值.变式3．（2023·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆22:14xCy，,AB是椭圆上的两个不同的点，O为坐标原点，,,AOB三点不共线，记AOB的面积为AOBS.(1)若1122,,,OAOxyxyB，求证：122112AOBSxyxy；(2)记直线,OAOB的斜率为12,kk，当1214kk时，试探究2AOBS是否为定值并说明理由.题型二：向量数量积定值例4．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，1F，2F是C的左、右焦点，过1F的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且2ABF△的周长为42，椭圆C的其中一个焦点在抛物线24yx准线上，(1)求椭圆C的方程；(2)已知点5,04M，证明:MAMB为定值.例5．（2023·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知4,Mm是抛物线2:20Cypxp上一点，且M到C的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；(2)如图所示，过点2,0P的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设QAPA，QBPB，求证：是定值.例6．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点P到(2,0)A的距离是点P到10B,的距离的2倍.(1)求点P的轨迹方程；(2)若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索BEBF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式4．（2023·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆2222:10xyEabab的右焦点为1,0F，点31,2P在E上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交4x于M，N两点，O为坐标原点，求证：OMON为定值．变式5．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线10ykxk与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.①若MBAN，求k的值；②若点Q的坐标为7,04，求证：QAQB为定值.题型三：斜率和定值例7．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知221:1044xyCaaa，222:144xyCbbb．(1)证明：2yx总与1C和2C相切；(2)在（1）的条件下，若2yx与1C在y轴右侧相切于A点，与2C在y轴右侧相切于B点．直线l与1C和2C分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线l使得对任意题干所给a，b，总有APAQBPBQkkkk为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．例8．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线2111:2(0)Cypxp与抛物线2222:2(0)Cxpyp在第一象限交于点P.(1)已知F为抛物线1C的焦点，若PF的中点坐标为1,1，求1p；(2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为1k.若斜率为2k的直线l与抛物线1C和2C均相切，证明12kk为定值，并求出该定值.例9．（2023·河南许昌·高二统考期末）已知PAB的两个顶点A，B的坐标分别是(0,3),(0,3),且直线PA，PB的斜率之积是3，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点(1,3)且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.变式6．（2023·河南商丘·高二校考阶段练习）已知12AAB，，是椭圆222210xyabab的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的PQ，两点，且2//lAB，若椭圆的离心率是32，且25AB，(1)求此椭圆的方程；(2)设直线1AP和直线BQ的斜率分别为12kk，，证明12kk为定值.变式7．（2023·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点1,0M的直线为,lN为圆22:(2)4Cxy与y轴正半轴的交点.(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程：(2)证明：若直线l与圆C交于,AB两点，直线,ANBN的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值例10．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆222210xyCabab：的离心率为22，以C的短轴为直径的圆与直线6yax相切．(1)求C的方程；(2)直线:10lykxk与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且PQ平分APB，设直线OP的斜率为k（O为坐标原点），判断kk是否为定值？并说明理由．例11．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点3,0,3,0MN，动点,Pxy满足直线PM与PN的斜率之积为13，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．例12．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy中，点P到点3,0F的距离与到直线l：433x的距离之比为32，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)过W上两点A，B作斜率均为12的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值.变式8．（2023·全国·高二随堂练习）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22，点2,2在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.题型五：斜率比定值例13．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线Γ：22221xyab实轴AB长为4（A在B的左侧），双曲线Γ上第一象限内的一点P到两渐近线的距离之积为45.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)设过4,0T的直线与双曲线交于C，D两点，记直线AC，BD的斜率为1k，2k，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①12kk为定值；②12kk为定值；③12kk为定值例14．（2023·四川成都·高二校考期中）已知椭C：22221(0)xyabab，12,FF为其左右焦点，离心率为32，1F3,0(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P0000,(0)xyxy，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为0k，1PF，2PF的斜率分别为1k，2k，则11201kkkkk是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例15．（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1,0,0xyCabab的实轴长为4，左右两个顶点分别为12,AA，经过点4,0B的直线l交双曲线的右支于,MN两点，且M在x轴上方，当lx轴时，26MN.(1)求双曲线方程.(2)求证：直线12,MANA的斜率之比为定值.题型六：线段定值例16．（2023·浙江·高二校联考期中）已知圆1C：22xym与圆2C：2240xyx.(1)若圆1C与圆2C内切，求实数m的值；(2)设3,0A，在x轴正半轴上是否存在异于A的点,0Bb，使得对于圆2C上任意一点P，PAPB为定值？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由.例17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点1,0F，且内切于圆22:116Kxy；②已知点