第七章 立体几何与空间向量（测试）（学生版）

1第七章立体几何与空间向量（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆台上下底面半径之比为1:2，母线与底面所成的角的正弦值为35，圆台体积为14π，则该圆台的侧面面积为（）A．30πB．18πC．15πD．9π2．（2023·甘肃天水·高三校考阶段练习）设,Rxy，向量,1,1axr，1,,1byr，2,4,2c且,//acbc，则ab（）A．22B．10C．3D．43．（2023·北京·高三强基计划）设,,231,0,0,0Vxyzxyzxyz，则V的体积为（）A．112B．118C．124D．1364．（2023·陕西西安·统考一模）如图，球面上有A、B、C三点，90ABC，3BABC，球心O到平面ABC的距离是322，则球O的体积是（）A．72πB．36πC．18πD．8π5．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）以下什么物体能被放进底面半径为1m2，高为3m的圆柱中（）A．底面半径为3m4，母线长为10m4的圆锥B．底面半径为0.01m，高为1.9m的圆柱C．边长为1m的立方体D．底面积为23m2，高为1.5m的直三棱柱6．（2023·北京·高三强基计划）在正方体1111ABCDABCD中，动点M在底面ABCD内运动且满足211DDADDM，则动点M在底面ABCD内的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分D．前三个答案都不对7．（2023·四川·校联考一模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P是线段1CD上的动点，下列说法错误的是（）A．AP∥平面11ABCB．1BDAPC．异面直线AP与11BC所成的角的最小值为6D．三棱锥11BACP的体积为定值8．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，4ABBCCDDA，22ACBD，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为1633；③过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高三专题练习）若点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且,BCbCaA，则下列结论正确的是（）A．12ADabuuurrrB．12BEabC．1122CFabD．12EFauuurr10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，四棱锥PABCD的底面为梯形，PD底面ABCD，90BADCDA，2,4ADABPDCD，E为棱PA的中点，则（）3A．CE与平面ABCD所成的角的余弦值为22121B．PACEC．BC平面PBDD．三棱锥PBCE的体积为4311．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知点P为正方体1111ABCDABCD底面ABCD的中心，用与直线1PD垂直的平面截此正方体，所得截面可能是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形12．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2,M为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A．若M为线段AC上任一点，则1DM与11BC所成角的范围为ππ[,]42B．若M在正方形11DCCD内部，且6MB，则点M轨迹的长度为2π2C．若M为正方形11ADDA的中心，则三棱锥MABD外接球的体积为8πD．若三棱锥1MBDC的体积为14π,36MDC恒成立，点M的轨迹为椭圆或部分椭圆第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·广东揭阳·高三校考开学考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为21π(3)3VRHH，其中R为球的半径，H为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能.它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别4和2，高为6，球缺所在球的半径为5，则该组合体的体积为．414．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，点E，F分别是SC、AD的中点，过B，E，F三点的平面与棱SD的交点为Q，若SQQD，则．15．（2023·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬090（即地球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为），且7sin4.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为万里.16．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体1111ABCDABCD中，3ABBC，12AA，P，Q为11AD，11DC的中点，S在BC上，且1BS.过P，Q，S三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形PQRSMN，则点M到直线QR的距离为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·贵州·高三统考开学考试）如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为菱形，且60ABC，12AAAB，E，F分别为BC，11AD的中点．(1)证明：平面1EFC平面1AAD．(2)求平面1EFC和平面11ABCD的夹角的余弦值．18．（12分）5（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱1111ABCDABCD的底面是边长为2的正方形，E，F分别为1AA，AB的中点．(1)求证：直线1DE、CF、DA交于一点；(2)若14AA，求多面体1BCDEF的体积．19．（12分）（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形ABCD中，//ABDC，90DAB，2CD，4ACAB，如图1.沿对角线AC将DAC△折起，使点D到达点P的位置，E为BC的中点，如图2.(1)证明：PEAC.(2)若二面角PACB的大小为60，求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.20．（12分）（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形,,90ABCDABCDD∥，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且60BCE，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且16AC，如图2.6(1)求证：平面1BCE平面ABED；(2)在棱1DC上是否存在点P，使得P到平面1ABC的距离为155？若存在，求出直线EP与平面1ABC所成角的正弦值.21．（12分）（2023·西藏日喀则·统考一模）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；(1)若1AB，2BC，1CD，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.(2)若BDCD，2ABBDCD，点P在棱AC上运动.试求PBD△面积的最小值.722．（12分）（2023·全国·校联考模拟预测）在ABC中，,,ABC对应的边分别为,,abc，且π,2AB．且2sincos2cos22CAB(1)求C；(2)若2ab，BC上有一动点P（异于B、C），将ABP沿AP折起使BP与CP夹角为π4，求AB与平面ACP所成角正弦值的范围．