2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.2　常用逻辑用语

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§1.2常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(4)命题“∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12”是真命题．(×)教材改编题1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是()A．∃x∈R，ex－1≥xB．∀x∈R，ex－1≤xC．∃x∈R，ex－1xD．∀x∈R，ex－1x答案C解析由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1x”．2．(多选)下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x20B．∀x∈R，－1≤sinx≤1C．∃x∈R，2x0D．∃x∈R，tanx＝2答案BD解析当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sinx≤1，所以B选项正确；因为2x0，所以C选项错误；因为函数y＝tanx∈R，所以D选项正确．3．若“x3”是“xm”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析因为“x3”是“xm”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m3.题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2023·淮北模拟)“ab0”是“ab1”的()A．充要条件公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由ab0，得ab1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足ab1，但是不满足ab0，故“ab0”是“ab1”的充分不必要条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a10，q1时，an＝a1qn－10，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn0，若a10，则qn0(n∈N*)，即q0；若a10，则qn0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a与b共线，当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)f(b)成立的一个充分不必要条件是()A．01a1bB．a2b2C．lnalnbD．2a2b答案AC解析由题设知4m－1＝1，可得m＝12，故f(x)＝x，所以，要使f(a)f(b)，则ab，即ab≥0.01a1b⇔ab0，A符合题意；lnalnb⇔ab0，C符合题意；B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．题型二充分、必要条件的应用例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)0，解得－1x3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)0}＝{x|－1x3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x3}．(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以a－1，a＋23，解得－1a1，即a∈(－1,1)；若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以a－1，a＋23，解得－1a1，即a∈(－1,1)；若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以a－1，a＋23，解得－1a1，即a∈(－1,1)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－10}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－10，得x2－4x＋30，解得1x3，所以B＝{x|1x3}，又A＝{x|－2x≤3}，所以A∩B＝{x|1x3}．(2)由x2－2mx＋m2－10，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]0，所以m－1xm＋1，所以B＝{x|m－1xm＋1}．由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，所以m－1≥－2，m＋1≤3⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，所以m的取值范围为[－1,2]．题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是()A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解答案B解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．命题点2含量词命题真假的判断例4(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．∃x∈R，12x≤1B．对于∀x∈R，n∈N*且n1，都有nxn＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D．∃x∈R，lnx≥x－1答案AD解析当x≥0时，012x≤1，故A项是真命题；当n为偶数，且x0时，nxn＝－x，故B项是假命题；当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；当x＝1时，lnx≥x－1，故D项是真命题．命题点3含量词命题的应用例5若“∃x∈－π3，π3，sinxm”是假命题，则实数m的最大值为()A.12B．－12C.32D．－32答案D解析因为“∃x∈－π3，π3，sinxm”是假命题，所以“∀x∈－π3，π3，m≤sinx”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈－π3，π3恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y＝sinx在－π3，π3上单调递增，所以x＝－π3时，y＝sinx最小，其最小值为y＝sin－π3＝－sinπ3＝－32，所以m≤－32，所以实数m的最大值为－32.思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n∈N，n2≤2n＋5公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．∀n∈N，n22n＋5D．∃n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量词命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n22n＋5.所以C正确，A，B，D错误．(2)(多选)下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，－x2－10B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x，使得1x2－2x＋3＝34答案ABC解析∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－10，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以1x2－2x＋3≤1234，故D项是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋10”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋10”的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋10”是真命题，即Δ＝(a－1)2－40，解得a3或a－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课时精练1．(2023·上饶模拟)“x22021”是“x22022”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若x22022，因为20222021，故x22021，故“x22022”可以推出“x22021”，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君取x2＝2021.5，则满足x22021，但x22022不成立，所以“x22021”不能推出“x22022”，所以“x22021”是“x22022”的必要不充分条件．2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为()A．∀x∉Q，都有x∉NB．∃x∉Q，使得x∈NC．∀x∈Q，都有x∈ND．∃x∈Q，使得x∈N答案C解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以由p：∃x∈Q，使得x∉N，得綈p：∀x∈Q，都有x∈N.3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a4B．a≤4C．a4D．a≥4答案B解析“∀x