2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.9圆锥曲线压轴小题突破练题型一离心率范围问题例1(1)已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，若直线x＝a2c与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是()A.0，22B.0，12C．[2－1,1]D.12，1答案D解析由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又|FA|＝a2c－c＝b2c，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴b2c∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴ac－c2≤a2－c2，ac＋c2≥a2－c2，∴e≤1，2e2＋e－1≥0，又∵e∈(0,1)，∴e∈12，1.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤π6，则双曲线离心率的取值范围是()A.1＋32，＋∞B．[3＋1，＋∞)C.1，3＋12D．(1，3＋1]答案D解析由题意|PF2|2c＝sin∠PF1F2≤sinπ6＝12，所以0|PF2|≤c，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e1，故解得1e≤3＋1.思维升华求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则e1e2的最小值为()A.32B.32C.34D.34答案A解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1||PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝π3，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cosπ3，整理得a21＋3a22＝4c2，故1e21＋3e22＝4.又4＝1e21＋3e22≥21e21×3e22＝23e1e2，即2≥3e1e2，所以e1e2≥32，即e1e2的最小值为32，当且仅当1e21＝3e22，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即e1＝22，e2＝62时，等号成立．(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是()A.0，32B.32，1C.0，12D.12，1答案C解析连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α90°，∴sinα≥sin60°，连接OA，则sinα＝|OA||OP|＝b|OP|≥32，∴|OP|≤2b3.又P是C上任意一点，则|OP|max≤2b3，又|OP|max＝a，∴a≤2b3，则由a2＝b2＋c2，得e2≤14，又0e1，∴e∈0，12.题型二圆锥曲线中二级结论的应用命题点1椭圆、双曲线中二级结论的应用例2(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则该椭圆的长轴长为()A．2B．4C．6D．12答案D解析由e＝12，得ca＝12，即a＝2c.①在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得12FPFS△＝b2tan∠F1PF22＝12r(2a＋2c)，即33b2＝3(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝33，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA→·BP→＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.2B．2C.3D．3答案A解析如图，BA→·BP→＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－1k，依题意，kPB·kPA＝b2a2，∴－1k·(－k)＝b2a2，∴b2a2＝1，即e＝2.思维升华焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝θ，则椭圆中12PFFS△＝b2·tanθ2，双曲线中12PFFS△＝b2tanθ2.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－b2a2，双曲线中kPA·kPB＝b2a2.跟踪训练2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62答案D解析设双曲线C2的方程为x2a22－y2b22＝1，则有a22＋b22＝c22＝c21＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为b21tan45°＝b22tan45°，即b22＝b21＝1.所以a22＝c22－b22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝c2a2＝32＝62.(2)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.13B.12C．－1D．－12答案B公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴b2a2＝12，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－b2a2＝－12，∴kMB＝12.命题点2抛物线中二级结论的应用例3(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为()A．2B．26＋3C．4D．3＋22答案D解析因为p＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝2p＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)1|AF|＋1|BF|＝3＋2|AF||BF|＋|BF||AF|≥3＋22|AF||BF|·|BF||AF|＝3＋22，当且仅当|BF|＝2|AF|时，等号成立，因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋22.(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为π6的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．答案64解析方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝3y＋4.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由x＝3y＋4，y2＝16x，消去x，整理得y2－163y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝163，y1y2＝－64.S△OAB＝12|y1－y2|·|OF|＝2y1＋y22－4y1y2＝21632－4×－64＝64.方法二(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝π6.所以S△OAB＝p22sinα＝822sinπ6＝64.思维升华与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为αα≠0，π2的直线l经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1－cosα，|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α，③S△OAB＝p22sinα(O为坐标原点)，④x1x2＝p24，y1y2＝－p2，⑤1|AF|＋1|BF|＝2p，⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．跟踪训练3已知A，B是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB→＝3FB→，S△OAB＝23|AB|，则|AB|的值为()A.92B.29C．4D．2答案A公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈0，π2，∵AB→＝3FB→，∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由1|BF|＋1|AF|＝2p，得1t＋12t＝2p⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p，又|AB|＝2psin2α，∴2psin2α＝94p⇒sinα＝223，又S△OAB＝23|AB|，∴p22sinα＝23|AB|，即p2423＝23·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.题型三圆锥曲线与其他知识的综合例4(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．该椭圆的离心率为3－12B．该椭圆的离心率为2－3C．该椭圆的焦距为32－63D．该椭圆的焦距为23－1答案BC解析sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝2，设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝2.因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得2sin60°＝2asin60°＋45°，解得a＝32＋66，所以c＝2－a＝32－66，所以ca＝32－632＋6＝2－3，2c＝32－63.思维升华高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．跟踪训练4(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则()公