素养拓展21 数列中的结构不良问题（原卷版）

1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）一、数列中的结构不良问题1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．2．数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于nnab型数列，其中na是等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nnaa型数列，其中na是公差为0dd的等差数列，利用裂项相消法求和．3．常见的裂项公式：（1）1111nnkknnk；（2）1111212122121nnnn；（3）1111122112nnnnnnn；（4）11nnkknnk；（5）1121121212121nnnnn．【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面二、题型精讲精练一、知识点梳理2①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+na与nS关系式设(0)nSanba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为na也是等差数列，所以222abaaab，解得0b；所以221naan，21aa，故22133aaa.[方法二]：待定系数法设等差数列na的公差为d，等差数列nS的公差为1d，则11(1)nSand，将1(1)2nnnSnad代入11(1)nSand，化简得2222211111112222ddnandnaddnad对于nN恒成立．则有2121111112,2440,ddadaddad，解得111,2dada．所以213aa．选①③作条件证明②：因为213aa，na是等差数列，所以公差2112daaa，所以21112nnnSnadna，即1nSan，因为11111nnSSanana，所以nS是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法3设(0)nSanba，则2nSanb，当1n时，211aSab；当2n时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为213aa，所以2323aabab，解得0b或43ab；当0b时，221,21naaaan，当2n时，2-1-2nnaaa满足等差数列的定义，此时na为等差数列；当43ab时，4=3nSanbana，103aS不合题意，舍去.综上可知na为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213aa，所以11Sa，21212Saaa，因为nS也为等差数列，所以公差1211dSSa，所以1111nSandna，故21nSna，当2n时，221111121nnnaSSnanana，当1n时，满足上式，故na的通项公式为121nana，所以1123nana，112nnaaa，符合题意.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列na的前n项和为1,1nSa，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248SSS、、成等比数列，②251072aaa．(1)求数列na的通项公式；(2)若11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT．2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设nS为等差数列na的前n项和，nb是正项等比数列，且11521,3abab.在①3314ab，②1581ab，③424SS这三个条件中任选一个，回答下列问题：(1)求数列na和nb的通项公式；4(2)如果*,mnabmnN，写出,mn的关系式()mfn，并求(1)(2)(3)(2020)ffff的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.3．（2023·全国·高三专题练习）在①a4是a3与a5﹣8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若21lognnbna，求数列1nb的前n项和Tn．4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，11a，且*112NnnnaSn．(1)证明：数列nnS为等差数列；(2)选取数列nS的第2nNn项构造一个新的数列nb，求nb的前n项和nT．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在①21nnaS；②111,21nnaSS；③221110,1,2nnnnnaaaaaa，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列na的前n项和为Sn，且满足.(1)求na与nS；(2)记(21)nnbna，求数列nb的前n项和Tn.6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且12nnnSSa，.请在①5826aa；②139,,aaa成等比数列；③20420S，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列na的通项公式；(2)若24nnab，记数列1{}nb的前n项和为nT，求证：2nT．57．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且11nnnSSa，________________．请在①4713aa；②1a，3a，7a成等比数列；③1065S，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列na的通项公式；(2)若1nnba，求数列2nnb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·全国·高三专题练习）设数列na是等比数列，其前n项和为.nS(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求na的通项公式；①2nnSa；②23342161，SaSa；(2)在（1）的条件下，若31nnba，求数列nb的前n项和nT9．（2023·全国·高三专题练习）从①11nnnnnaabaa；②11nnnnbaa；③2nnnba三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列na，nb满足0na，且11a，11nnnnaaaa，______，求数列nb的前n项和nS.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列na的前n项和为nS，且11nnnSSa，__________．请在4713713;aaaaa，，成等比数列;1065S，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列na的通项公式;(2)设数列2nna的前n项和nT，求证：13nT．611．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期末）在①222220nnSnnSnn；②222nnnaanS；③12nnSnSn，11a，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列na的前n项和为nS，且______，(1)求数列na的通项公式；(2)设21nanb，若数列nc满足11nnnnbcbb，求证：121nccc．12．（2023·全国·高三专题练习）设首项为2的数列na的前n项和为nS，前n项积为nT，且满足______________．条件①：111nnnaann；条件②：23nnnSa；条件③：12nnnnTaTn．请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列na的通项公式；(2)求证：数列13nS的前n项和14nM．参考公式：22221123(1)(21)6nnnn．13．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知数列na的前n项和为nS，且11nnnSSa，___________．请在①31520aa；②2511，，aaa成等比数列；③20230S，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列na的通项公式；(2)若1nnba，求数列2nnb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.714．（2023·全国·高三专题练习）在①22nSnn；②13a，3518aa；③13a，648S.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知nS为等差数列na的前n项和，若__________.(1)求数列na的通项公式；(2)设241nnbnaN，求数列nb的前n项和nT.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．（2023·全国·高三专题练习）在①数列na的前n项和22nnnS；②2120nnnaaa且11a，33a，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列na满足__________，求na的通项公式；(2)已知正项等比数列nb满足14ba，2380bb，求数列2212loglognnbb的前n项和nT．16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的首项为1，前n项和为nS，且满足______.①22a，22nnaa；②21nnSna；③12nnnSnS.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求na；(2)求数列21nnaa的前n项和nT.17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，435Sa，2321aa．(1)求na与nS；(2)在下列两个条件中选一个，求数列nb的前30项和．①561nnnbaa；②nnba．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．818．（2023春·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列na的前n项和为11,2,2.nnnSaSa(1)求数列na的通项公式；(2)令2log.nnba①nnncba；②2141nncb；③2(1)(),nnncb从上面三个条件中任选一个，求数列nc的前n项和.nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的