素养拓展30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,AB，设P点在同一平面上且满足PAPB，当0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明设1,,,0,,0PxyAaBa．若PAPB（0且1），则点P的轨迹方程是2222221211axay，其轨迹是以221,01a为圆心，半径为221ar的圆．证明：由PAPB及两点间距离公式，可得22222xayxay，化简可得2222222112110xyaxa①，（1）当1时，得0x，此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线；（2）当1时，方程①两边都除以21得222222101axxya，化为标准形式即为：2222221211axay，∴点P的轨迹方程是以221,01a为圆心，半径为221ar的圆．图①图②图③【定理】,AB为两已知点，,MN分别为线段AB的定比为1的内外分点，则以MN为直径的圆C上任意点P到,AB两点的距离之比为．一、知识点梳理证明：以1为例．如图②，设2ABa，AMANMBNB，则222,2111aaaAMBMa，222,2111aaaANBNa．过B作AB的垂线圆C交于,QR两点，由相交弦定理及勾股定理得22222222244,11aaQBMBBNQAABQB，于是2222,,11aaQAQBQAQB．,,MQN同时在到,AB两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆C上任意一点P到,AB两点的距离之比恒为．同理可证01的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当1时，点B在圆C内，点A在圆C外；当01时，点A在圆C内，点B在圆C外．【结论2】因2AQAMAN，故AQ是圆C的一条切线．若已知圆C及圆C外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为241aMN，面积为222241a．【结论4】过点A作圆C的切线AQ（Q为切点），则,QMQN分别为AQB∠的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，M是AB的内分点，N是AB的外分点，此时必有PM平分APB，PN平分APB的外角．证明：如图①，由已知可得PAMANAPBMBNB（0且1），PAMPBMSMASMB，又11sinsin,sin,22sinPAMPBMPAPMAPMSPAPMAPMSPBPMBPMPBPMBPM，sinsin,,APMBPMAPMBPMPM平分APB．由等角的余角相等可得BPNDPN，PN平分APB的外角．【结论6】过点B作圆C不与QR重合的弦EF，则AB平分EAF．证明：如图③，连结,MEMF，由已知,.ABEABFSFAEAEBEAEBFBEBFBFASFB（0且1），又11sinsin,sin,22sinABEABFABAEBAEEBAESABAEBAESABAFBAFABAFBAFFBAF，sinsin,,BAEBAFBAEBAFAB平分EAF．sinsin,,BAEBAFBAEBAFAB平分EAF．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为222210xyabab，则椭圆两条互相垂直的切线,PAPB交点P的轨迹是蒙日圆：2222xyab．①当题设中的两条互相垂直的切线,PAPB斜率均存在且不为0时，可设00,Pxy（0xa且0yb），过P的椭圆的切线方程为000yykxxk，由002222,1,yykxxxyab得222222222000020akbxkakxyxakxyab，由其判别式值为0，得222222200000200xakxykybxa，,PAPBkk是这个关于k的一元二次方程的两个根，220220PAPBybkkxa，由已知222222000220,1,1,,PAPBybPAPBkkxyabxa点P的坐标满足方程2222xyab．②当题设中的两条互相垂直的切线,PAPB有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标为,ab或,ab，此时点P也在圆2222xyab上．综上所述：椭圆222210xyabab两条互相垂直的切线,PAPB交点P的轨迹是蒙日圆：2222xyab．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆2222xyab上的动点P作椭圆222210xyabab的两条切线,PAPB，则PAPB．证明：设P点坐标00,xy，由2222001xyabyykxx，得222222222000020akbxkakxyxakxyab，由其判别式的值为0，得222222200000200xakxykybxa，PAk，PBk是这个关于k的一元二次方程的两个根，220220PAPBybkkxa，222200xyab，2202201PAPBybkkxa，PAPB．【结论2】设P为蒙日圆O：2222xyab上任一点，过点P作椭圆22221xyab的两条切线，交椭圆于点,,ABO为原点，则,OPAB的斜率乘积为定值22OPABbkka．【结论3】设P为蒙日圆O：2222xyab上任一点，过点P作椭圆22221xyab的两条切线，切点分别为,,ABO为原点，则,OAPA的斜率乘积为定值22PAOAbkka，且,OBPB的斜率乘积为定值22OBPBbkka（垂径定理的推广）．【结论4】过圆2222xyab上的动点P作椭圆222210xyabab的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标00,xy，直线OP斜率00OPykx，由切点弦公式得到AB方程00221xxyyab，2020ABbxkay，22OPABbkka，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆:O2222xyab上任一点，过点P作椭圆222210xyabab的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则,OPCD的斜率乘积为定值22OPCDbkka．【结论6】设P为蒙日圆2222xyab上任一点，过点P作椭圆222210xyabab的两条切线，切点分别为,,ABO为原点，则,OAOB的斜率乘积为定值：44OPCDbkka．【结论7】设P为蒙日圆2222xyab上任一点，过点P作椭圆222210xyabab的两条切线，切点分别为,,ABO为原点，则AOBS的最大值为2ab，AOBS的最小值为2222abab．【结论8】设P为蒙日圆2222xyab上任一点，过点P作椭圆222210xyabab的两条切线，切点分别为,AB，则APBS的最大值为422,APBaSab的最小值为422bab．二、题型精讲精练【典例1】设A，B是平面上两点，则满足PAkPB(其中k为常数，0k且1k)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知6,0A，6,02B，且2k.（1）求点P所在圆M的方程.（2）已知圆22:225xy与x轴交于C，D两点(点C在点D的左边)，斜率不为0的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：ECDFCD.【详解】（1）解：由题意可得，2PAPB，即2PAPB，则22226622xyxy，整理得223xy，即圆M的方程为223xy.（2）证明：对于圆，令0y，得1x或3x，所以3,0C，1,0D.设直线l的方程为1xty，11,Exy，22,Fxy.由221,3,xtyxy得221220tyty，则12221tyyt，12221yyt.121233CECFyykkxx1221123333yxyxxx1221122233yytytyxx121212233tyyyyxx22122211233ttttxx0则直线EC与FC关于x轴对称，即ECDFCD.【典例2】已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点为5,0，离心率为53．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若动点00,Pxy为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【详解】（I）可知5c，又22255,3,9543ceabacaa，故椭圆C的标准方程为22194xy．（II）设两切线为12,ll，①当1lx轴或1l//x轴时，对应2l//x轴或2lx轴，可知3,2P或3,2P．②当1l与x轴不垂直且不平行时，03x，设1l的斜率为k，则20,kl的斜率为1k，1l的方程为00yykxx，联立22194xy，得22200009418940kxkykxxykx，∵直线与椭圆相切，∴0，得22222200000018364940,44940kykxykxkykxk，整理得22200009240xkxyky（*），k是方程（*）的一个根，同理1k是方程（*）的另一个根，其中03x，点P的轨迹方程为22133xyx，又3,2P或3,2P满足上式．综上知：点P的轨迹方程为2213xy．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点1,0A和2,1B，且该平面内的点P满足||2||PAPB，若点P的轨迹关于直线20(,0)mxnymn对称，则25mn的最小值是（）A．10B．20C．30D．402．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0kk且1)k的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆2222:1(0),,xyTabABab为椭圆T长轴的端点，,CD为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左右焦点，动点M满足2,MEMABMF面积的最