专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布题型一两点分布题型二超几何分布题型三二项分布题型四二项分布的概率最大问题题型五二项分布与超几何分布的综合题型六正态分布求概率题型七正态分布的对称题型八正态分布的实际应用题型一两点分布例1．随机变量X服从两点分布，且10.2PX，令32YX，则2PY（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.8【答案】D【分析】根据两点分布的性质求出0PX，则20PYPX.【详解】因为随机变量X服从两点分布，且10.2PX，所以01110.20.8PXPX，由32YX，所以200.8PYPX.故选：D例2．已知离散型随机变量X服从两点分布，且0341PXPX，则随机变量X的方差为．【答案】29资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设10PXp，所以111PXp，由题意可求出113p，所以可求出DX．【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设10PXp，所以111PXp，所以，代入0341PXPX有：11341pp，解得：113p，12113PXp，因为离散型随机变量X服从两点分布，所以122=339DX.故答案为：29.练习1．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足2091PXPX，且01PXPX，则EX（）A．13B．12C．23D．14【答案】C【分析】根据两点分布的性质可得011PXPX，结合题意求得1PX，再根据两点分布的期望公式即可得解.【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，所以011PXPX，则21191PXPX，解得113PX或23，又因01PXPX，所以213PX，则103PX，所以23EX.故选：C.练习2．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p，20.75p，30.3p，40.2p，用“1i”表示员工支持第i种方案，用“0i”表示员工不支持第i种方案1,2,3,4i，那么方差资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1D，2D，3D，4D的大小关系为（）A．1234DDDDB．4321DDDDC．2314DDDDD．1423DDDD【答案】D【分析】由题意可知：随机变量1,2,3,4ii服从两点分布，由两点分布的方差公式(1)Dpp可解.【详解】由题意可知：用“1i”表示员工支持第i种方案，用“0i”表示员工不支持，第i种方案1,2,3,4i，所以随机变量1,2,3,4ii服从两点分布，则111(1)0.90.10.09Dpp，2220.750.250.1875(1)Dpp，333(1)0.30.70.21Dpp，444(1)0.20.80.16Dpp，所以1423DDDD，D选项正确.故选：D练习3．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中103PX，则下列结论正确的是（）A．1PXEXB．324EXC．324DXD．49DX【答案】AB【分析】求出1PX，即可求出()EX、()DX，再根据期望与方差的性质计算可得.【详解】依题意103PX，所以21103PXPX，所以12201333EX，2221220133339DX.所以1PXEX，232323243EXEX，222332932DXDX，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB练习4．（多选）随机变量X服从两点分布，若104PX，则下列结论正确的有（）A．314PXB．316DXC．3212EXD．3214DX【答案】ABD【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．【详解】因为随机变量X服从两点分布，104PX，所以314PX，故3313,44416EXDX，因此，3521212142EXEX，332144164DXDX，所以正确的是ABD．故选：ABD．练习5．已知随机变量X服从两点分布，且202PXa，1PXa，那么a．【答案】12/0.5【分析】根据概率之和为1即可求解.【详解】由题意可知2102121PXaaPXa或1a，由于0a，所以12a，故答案为：12题型二超几何分布例3．（多选）某单位推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，则下列说法正确的是（）A．乙得40分的概率是114B．乙得25分的概率是821C．乙得10分的概率是37D．乙得0分的概率是1210【答案】ABC资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可.【详解】设乙的得分为X，则由题意X的所有可能取值为0，10，25，40，所以431446410CCC50C42PX，2246410CC310C7PX，1346410CC825C21PX，46410C140C14PX，故选：ABC例4．某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．(1)请完成下列22列联表．根据小概率值0.01的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．经常锻炼不经常锻炼合计合格25优秀10合计100(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．附：22()nadbcabcdacbd，其中nabcd．2Pk≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)列联表见解析；成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联(2)分布列见解析资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据题意，得到22列联表，求得2的值，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，求得抽取的10人中合格有7人，优秀的为3人，得到X服从超几何分布，得出X的可能值，求得相应的概率，列出分布列.【详解】（1）解：根据题意，得到22列联表经常锻炼不经常锻炼合计合格254570优秀201030合计4555100零假设0H：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，可得22100251045208.1296.63570304555．根据小概率值0.01的独立性检验，推断0H不成立，所以99%的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600分的频率为0.01250.0025200.3，小于600分的频率为10.30.7，所以由分层抽样知，抽取的10人中合格有100.77人，优秀的为100.33人，则从这10人中随机抽取5人，优秀人数X服从超几何分布，由题意X的可能值为0，1，2，3可得5073510CC10C12PX，4173510CC51C12PX，3273510CC52C12PX，2373510CC2113C25212PX所以随机变量X分布列为X0123P112512512112练习6．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：有兴趣无兴趣合计男性运动员8040120女性运动员404080合计12080200(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X名，求X的分布列与数学期望．参考公式：22()nadbcKabcdacbd临界值表：20PKk0.1500.1000.0500.0250.0100.0010k2.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)没有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关(2)分布列见解析，期望为2【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，（2）由超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.【详解】（1）由已知22200(80404040)505.5566.63512080801209K故没有99%的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员4名，女性运动员2名，则1,2,3X1221342424333666CCCCC1311,2,3C5C5C5PXPXPXX的分布列如下表X123资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】P1535151311232555EX练习7．某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在70,75和85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在70,75内的学员人数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)0.036a，82.3(2)分布列见解析；期望为53【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为1求出a，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；（2）求出X的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.【详解】（1）由直方图可知0.0080.0160.0200.0440.0400.0280.00851a，解得0.036a．因为0.0080.0160.020.03650.40.5，0.0080.0160.020.0360.04450.620.5，所以学员该项技能的评价指标的中位数在80,85内．设学员该项技能的评价指标的中位数为m，则800.0440.40.5m，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得82.3m．（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在70,75内的有4名，在8