专题3.5 指数与指数函数（解析版）

专题3.5指数与指数函数题型一指数幂的运算题型二指数函数的概念题型三指数函数的图象问题题型四指数型函数过定点问题题型五指数函数的定义域和值域问题题型六利用指数的单调性解不等式或比较大小题型七由指数函数的单调性求参数题型八指数函数的最值问题题型九指数函数的实际应用题型一指数幂的运算例1．化简733383152()aaaa【答案】12a【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据指数幂的运算法则，可得：714571318115171338315623232323323222aaaaaaaaaa.例2．（2022秋·高一课时练习）计算：(1)0220.254361822772；(2)已知：11223aa，求12222aaaa的值.【答案】(1)4(2)15【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）在等式11223aa两边平方可得出1aa，再利用平方关系可求得22aa，代入计算可得出12222aaaa的值.【详解】（1）解：原式312324431223212944.（2）解：因为11223aa，则21112229aaaa，所以，17aa，所以，2122249aaaa，可得，2247aa，因此，122272124725aaaa.练习1．（2022秋·高一课时练习）230227210.58()的值为（）A．13B．13C．43D．73【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.【详解】解：22333022272111()0.583122247132933114故选：D.练习2．（2022秋·高三课时练习）化简1111132168421212121212的结果为（）A．1321122B．11321122C．113212D．12【答案】B【分析】利用平方差公式化简即可.【详解】1111132168421212121212=11111113232168324212121212121212=111111161683242121212121212=111118832421212121212=11113244212121212=1113222121212=11321212=11321122故选：B练习3．（2022秋·高三课时练习）化简求值：(1)0.257209.12301023π273748；(2)23380.5364116813.【答案】(1)100(2)4【分析】根据指数幂运算性质运算求解即可.【详解】（1）解：0.257209.12301023π273748122125910230π63274374851003243337485100391633748100.（2）解：23380.5364116813323312236414223348322734748272练习4．（2022秋·高三课时练习）已知11224mm，则33221122mmmm的值是（）A．15B．12C．16D．25【答案】A【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.【详解】因为11224mm，所以111222()216214mmmm，又由立方差公式，3311112222221111122212()()115mmmmmmmmmmmmmm，故选：A．练习5．（2022秋·高三课时练习）化简：253109()()aaaa=______．（用分数指数幂表示）.【答案】65a【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.【详解】因为39137137612531092510555552()()()()aaaaaaaaaaaa.故答案为：65a.题型二指数函数的概念例3．（2022秋·高三单元测试）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A．3xyB．121,12xymmmC．0.19xyD．23xy【答案】BC【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.【详解】由指数函数形式为xya且0,1aa，显然A、D不符合，C符合；对于B，210m且211m，故符合.故选：BC例4．（2021秋·高三课时练习）如果指数函数fx的图象经过点22,2，那么4f的值为__________.【答案】12/0.5【分析】利用待定系数法求出幂函数fx的解析式，再计算4f的值.【详解】设幂函数()fxx，已知图象过点2(2,)2，所以222，解得12，所以12()fxx.所以121442f.故答案为：12.练习6．（2022秋·高三课时练习）若4a＋0(2)a有意义，则a的取值范围是()A．0aB．2aC．2aD．0a且2a【答案】D【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可.【详解】由题设知：020aa，可得02aa.故选：D练习7．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数中，是指数函数的为（）A．0.75xyB．0.75xyC．5yxD．15xy【答案】AD【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】形如xya(0a且1a)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD.故选：AD.练习8．（2023秋·云南大理·高三统考期末）（多选）已知函数()kxfxa（a0且1a）的图象过点（2,4），（4,2），则（）A．2aB．a=2C．k=3D．k=6【答案】AD【分析】将点（2,4），（4,2），代入()kxfxa求得,ak的值.【详解】由已知得2442kkaa，两式相比得22a，所以2a，由24ka得24242k，所以6k，故选：AD．练习9．（2022秋·高一课时练习）若函数2224xfxaaa为指数函数，则（）A．1a或3aB．0a且1aC．1aD．3a【答案】C【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.【详解】因为函数2224xfxaaa为指数函数，则222140aaa，且41a，解得1a，故选：C练习10．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）（多选）若指数函数fx经过点()1,2-，则下列结论正确的是（）A．0.10.3ffB．0.10.3ffC．0.10.3ffD．2122ffmm【答案】BD【分析】根据指数函数的定义，代入已知点，求得函数解析式，明确函数单调性，逐项验证可得答案.【详解】由题意，设xfxa，则112fa，解得12a，即12xfx，易知fx在R上单调递减，对于A、B，由0.10.3，则0.10.3ff，故A错误，B正确；对于C，由0.10.3，则0.10.3ff，故C错误；对于D，由2222111mmm，则2122ffmm，故D正确.故选：BD.题型三指数函数的图象问题例5．（2022秋·内蒙古兴安盟·高三乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（多选）若函数()xfxab(0a且1a)的图像经过第一、二、三象限，则（）A．01baB．01abC．1baD．1ab【答案】BC【分析】根据函数()xfxab(0a且1a)的图像经过第一、二、三象限，判断a，b的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为函数()xfxab(0a且1a)的图像经过第一、二、三象限，所以1a，010,101fbb，所以xya是增函数，xyb是减函数，则01baa，101abb，故选：BC.例6．（2021秋·高三课时练习）函数1xfxaa（0,1aa）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】结合指数函数的性质，分1a和01a两种情况求解即可.【详解】当1a时，10,1a，因此10101af，且函数1xfxaa在R上单调递增，故A、B均不符合；当01a时，11a，因此1010fa，且函数1xfxaa在R上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．练习11．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数()41xfx，若存在12,xxR且12xx，满足12fxfx，则12xx的取值范围是（）A．(,1)B．(,0)C．(0,)D．(1,0)【答案】B【分析】画出函数()41xfx的图象，结合12fxfx，得到12442xx，再利用基本不等式求得1241xx，即可求解.【详解】如图所示，画出函数()41xfx的图象，结合图象和题意，可得120xx，所以121214,41xxfxfx，由12fxfx，即121441xx，可得12442xx，由基本不等式可得12121224424424xxxxxx，所以1241xx，所以120xx.故选：B.练习12．（2022秋·高三单元测试）函数①xya；②xyb；③xyc；④xyd的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A．54，3，13，12B．3，54，13，12C．12，13，3，54，D．13，12，54，3，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而5113423.故选：C．练习13．（2023秋·河南安阳·高三统考期末）已知函数()xfxa是指数函数，函数2()2gxxax，则()fx与()gx在同一坐标系中的图像可能为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据指数函数和二次函数的性质，判断图像的形状.【详解】当1a时，xya为增函数，2()2gxxax的图像的对称轴为直线1xaa，A选项错误，C选项正确；当01a