专题5.5 三角函数（2021-2023年）真题训练（解析版）

专题5.5三角函数真题训练1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22sincos2sincos2sin33232334xxxxxfx，所以fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．2．（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数2sin3yx的图象，只要把函数π2sin35yx图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin3155yxx，所以把函数π2sin35yx图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3yx的图象．故选：D.3．（2022年新高考天津数学高考真题）已知1()sin22fxx，关于该函数有下列四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44上单调递增；③当ππ,63x时，()fx的取值范围为33,44；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin22fxx，所以()fx的最小正周期为2ππ2T，①不正确；令ππ2,22tx，而1sin2yt在ππ,22上递增，所以()fx在ππ[,]44上单调递增，②正确；因为π2π2,33tx，3sin,12t，所以31,42fx，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428xxx，所以()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）“22sinsin1”是“sincos0”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sinsin1时，例如π,02但sincos0，即22sinsin1推不出sincos0；当sincos0时，2222sinsin(cos)sin1，即sincos0能推出22sinsin1.综上可知，22sinsin1是sincos0成立的必要不充分条件.故选：B5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）22π5πcoscos1212（）A．12B．33C．22D．32【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选：D.6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A．7sin212xB．sin212xC．7sin212xD．sin212x【答案】B【分析】解法一：从函数()yfx的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yfx的解析表达式；解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，令23tx,则,234212ttxx,所以sin212tft,所以sin212xfx；解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy的图象，即为yfx的图象，所以sin212xfx.故选：B.7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数π()sin(0)3fxx的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kkZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx，又C关于y轴对称，则,232kkZ，解得12,3kkZ，又0，故当0k时，的最小值为13.故选：C.8．（2022年新高考全国II卷数学真题）若sin()cos()22cossin4，则（）A．tan1B．tan1C．tan1D．tan1【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：sincoscossincoscossinsin2cossinsin,即：sincoscossincoscossinsin0，即：sincos0所以tan1故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()2sin=2sin[]442sincos2cossin22cossin444（）（）（）（）（）所以2sincos2cossin44（）（）sincoscossin=044（）（）即sin=04（）22sin=sincoscossin=sincos=044422（）（）（）（）（）sin=cos（）（）即tan(）=-1,故选：C.9．（2022年新高考浙江数学高考真题）设xR，则“sin1x”是“cos0x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sincos1xx可得：当sin1x时，cos0x，充分性成立；当cos0x时，sin1x，必要性不成立；所以当xR，sin1x是cos0x的充分不必要条件.故选：A.10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，15cos4，则sin2（）．A．358B．158C．354D．154【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为215cos12sin24，而为锐角，解得：sin225135518164．故选：D．11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知11sin,cossin36，则cos22（）．A．79B．19C．19D．79【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sincoscossin3，而1cossin6，因此1sincos2，则2sin()sincoscossin3，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．12．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知fx为函数πcos26yx向左平移π6个单位所得函数，则yfx与1122yx的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得sin2fxx，再作出fx与1122yx的部分大致图像，考虑特殊点处fx与1122yx的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos26yx向左平移π6个单位所得函数为πππcos2cos2sin2662yxxx，所以sin2fxx，而1122yx显然过10,2与1,0两点，作出fx与1122yx的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222xxx，即3π3π7π,,444xxx处fx与1122yx的大小关系，当3π4x时，3π3πsin142f，13π1π4284312y；当3π4x时，3π3πsin142f，13π13π412428y；当7π4x时，7π7πsin142f，17π17π412428y；所以由图可知，fx与1122yx的交点个数为3.故选：C.13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数()sin()fxx在区间π2π,63单调递增，直线π6x和2π3x为函数yfx的图像的两条对称轴，则5π12f（）A．32B．12C．12D．32【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x即可得到答案.【详解】因为()sin()fxx在区间π2π,63单调递