专题6.3 复数（解析版）

专题6.3复数题型一复数的分类题型二复数的几何意义题型三复数模的计算题型四复数模的几何意义题型五复数的四则运算题型六i的幂运算题型七待定系数法求复数题型八复数的三角表示（选学）题型一复数的分类例1．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）已知复数1izmmm为纯虚数，则实数m的值为（）A．1B．1C．1或1D．1或0【答案】B【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】因为z是纯虚数，所以100?             mmm，解得1m．故选：B．例2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足23i2iz，则复数z的共轭复数虚部为（）A．32B．12C．12D．32【答案】B【分析】由复数的运算直接求解得到31i22z，再由共轭复数的概念求解即可.【详解】由题知，2253i53i5313i(2i)5,i,3i3i3i3122zz复数z的共轭复数为31i,22z复数z的共轭复数虚部为12，故选：B.练习1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设Rm，则“2m”是“23i1i34i2i55mm为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出m，最后确认是充要条件.【详解】依题意，22223i2i3i632i2i2i2i55mmmm，1i34341734iiii55555555，故2223i1i632734ii2i5555mmmmmm，若该式为纯虚数，则22603270mmmm，解得2m.故选：C.练习2．（2022·高三单元测试）（多选）设z是复数，则下列命题中是真命题的是（）A．若20z，则z不一定是实数B．若20z，则z是虚数C．若z是虚数，则20zD．若z是纯虚数，则20z【答案】BD【分析】因为z是复数，可设izab，先表示出2z，再根据四个选项的条件逐项验证即可.【详解】设i,zababRR，则2222i2izababab，对于A，因为20z，所以0ab，因为2220zab，可得=0b，即z=a，所以z一定是实数，所以选项A错误；对于B，因为20z，所以0ab，因为2220zab，所以=0a且0b，即i0zbb，所以z是虚数，所以选项B正确；对于C，若z是虚数，则i0zabb，即2222i2izababab，若0a，则2z为虚数，不能和0比较大小，若=0a，则220zb，均不满足20z，所以选项C错误；对于D，若z是纯虚数，则=0a且0b，即i0zbb，所以220zb，所以选项D正确.故选：BD.练习3．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）当实数m取什么值时，复数22(28)(2)immmm是下列数？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【答案】(1)0m或2m(2)0m且2m(3)4m【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.【详解】（1）由题意复数22(28)(2)immmm，当220mm，即0m或2m时，所给复数是实数.（2）当220mm，即0m且2m时，所给复数是虚数.（3）当2228=020mmmm，即=4m时，所给复数是纯虚数.练习4．（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试题）已知i为虚数单位，复数z满足2izz，则z的虚部为（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】设izab，,Rab，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.【详解】设izab，,Rab，则2i2izab，因为2izz，所以22222abab，则22222abab，解得1b，所以复数z的虚部为1.故选：C练习5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数12,zz，则下列运算结果一定为实数的是（）A．11zzB．22zzC．2212zzD．1212zzzz【答案】AD【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.【详解】设复数1izab（a，bR，0b），1izab，2izcd（,cdR，0d），2izcd，对于A，11ii2zzababa，虚部为0，则11zz一定为实数，故A正确；对于B，222izzd，虚部不为0，故22zz一定不为实数，故B不正确；对于C，22222222222212ii2i+2i2+2izzabcdababcdcdabcdabcd，若2+20abcd，则2212zz不一定为实数，故C不正确；对于D，1212iiiizzzzabcdabcd，iiii22acadbcbdacadbcbdbdac，故D正确.故选：AD.题型二复数的几何意义例3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数1i2izm在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（）A．2mB．02mC．22mD．2m【答案】A【分析】化简z，根据z对应点所在象限列不等式，从而求得m的取值范围.【详解】1i2i22izmmm，对应点2,2mm，由于点2,2mm在第一象限，所以2020mm，解得m2.故选：A例4．（2023春·全国·高三专题练习）已知a为实数，若复数2341izaaa为纯虚数，则复数iaa在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答.【详解】因为复数2341izaaa为纯虚数，则234010aaa，解得4a，所以复数44i在复平面内对应的点(4,4)位于第四象限.故选：D练习6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数1z与42iz在复平面内对应的点关于实轴对称，则11iz（）A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】D【分析】根据复数对应点的对称关系得142iz，应用复数除法化简目标式即得结果.【详解】由42iz对应点为(4,2)，则1z对应点为(4,2)，故142iz，所以12(2i)2(2i)(1311i)ii1i2z.故选：D练习7．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，O是原点，向量OZ对应的复数是1i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（）A．2B．2iC．1D．i【答案】A【分析】由复数的几何意义结合图象可得.【详解】如图，由题意可知1,1OZ，OZ与x轴夹角为3π4，绕点O逆时针方向旋转π4后Z到达x轴上1Z点，又12OZOZ，所以1Z的坐标为2,0，所以1OZ对应的复数为2.故选：A.练习8．（江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题）若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为,AB，则AB（）A．2B．22C．3D．4【答案】A【分析】利用已知条件先求出z，根据复数的意义，分别写出,AB坐标，再利用两点间的距离公式计算即可.【详解】由3i3iiizzzz，所以21i1iz，所以1iz，故z与z在复平面内对应的点分别为1,1,1,1AB，所以2211112AB，故选：A.练习9．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数z所对应的点在第四象限，且满足2220zz，则2z（）A．1iB．1iC．2iD．2i【答案】C【分析】根据题意求出z，再根据复数z所对应的点所在象限，即可求解.【详解】因为复数z满足：2220zz，即2(1)1z，故1iz或1iz，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数1iz，所以22iz.故选:C.练习10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，记OA，OC，AB表示的复数分别为2i,12i,12i，记z为BC所表示的复数，则zz（）A．25B．8C．5D．23i【答案】A【分析】由复数的几何意义可得(2,1),(1,2),(1,2)OAOCAB，求出4i3z，再由共轭复数的定义和复数的乘法运算化简即可得出答案.【详解】因为OA，OC，AB表示的复数分别为2i,12i,12i所以(2,1),(1,2),(1,2)OAOCAB，(1,2)(2,1)3,1ACOCOA，则(3,1)(1,2)BCACAB(4,3)，那么4i3z，所以25zz.故选：A．题型三复数模的计算例5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）若复数z满足1iz，2|4|zz______．【答案】25【分析】化简24zz，然后用复数模的公式进行求解即可.【详解】因为1iz，所以2241i41i2i44i=42izz，所以25|4164|2zz.故答案为：25例6．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）i是虚数单位，已知22i，写出一个满足条件的复数．______．【答案】1i（答案不唯一，满足iaa（Ra）均可）【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设iab，（,Rab），则22|2||(2)i|(2)abab，22|2i||(2)i|(2)abab，因为|2||2i|，所以2222(2)(2)abab，解得：ab，所以iaa，（Ra）所以可以取1i.故答案为：1i（答案不唯一，满足iaa（Ra）均可）.练习11．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数122i,1izzaaR，且12zz为纯虚数，则12zz（）A．3B．5C．1D．6【答案】C【分析】根据复数的乘法运算法则化简12zz，由纯虚数的概念求出a，由复数的除法运算以及复数的模长公式可得结果.【详解】复数122i,1izza，则122i1i221izzaaa，依题意得，20210aa，解得2a，即212iz，122i12izz(2i)(12i)(12i)(12i)5ii5，所以121zz.故选：C.练习12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知i为虚数单位，复数i13iz，则z______.【答案】10【分析】根据复数的乘法运算求得3iz，可得z，根据复数模的计算即得答案.【详解】由i13iz可得3iz，故223i,3110zz，故答案为：10练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足2izz，写出一个满足条件的复数z______．【答案】1i（答案不唯一，虚部为1即可）【分析】设复数z，代入复数的模的公式求解即可.【详解】设izab，（a，bR），则222ii2