专题6.6 解三角形的最值（范围）及图形切割（原卷版）

专题6.6解三角形的最值（范围）及图形切割题型一利用基本不等式求最值（范围）题型二利用三角函数值域求角的范围题型三利用三角函数值域求边的范围题型四图形切割题型五角平分线的应用题型六中线的应用题型七解三角形的结构不良题型一利用基本不等式求最值（范围）例1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足(sin2coscos)sinsin0aABCbAC．(1)求角A的大小；(2)若2a，求ABC面积的取值范围．例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量sin,23cosaxx，2sin,sinbxx，函数1fxab．(1)求fx的单调增区间．(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若4fA，2a，求△ABC周长的取值范围．练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22sinacBbac．(1)求sinB；(2)求222bac的最小值．练习2．（2023·湖南·校联考模拟预测）在ABC中，abc、、分别是角、、ABC所对的边，向量2,,(cos,cos)cbavAC，且v．(1)求角A的大小；(2)若2ACABuuuruuur，求ABC外接圆半径的最小值．练习3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量1sin,1,3cos,cos22mxnxx，函数fxmn.(1)求函数fx的最大值及相应自变量的取值集合；(2)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1,22fAa，求ABC面积的最大值.练习4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sincoscBabC.(1)求B；(2)若DCAD，2BD，求ABC的面积的最大值.练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且1a，π3A，则下列说法正确的是______.①2sinbaB；②sinsinBbA；③ABC周长的最大值为3；④ABACuuuruuur的最大值为12．题型二利用三角函数值域求角的范围例3．（2023春·全国·高三专题练习）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若2caab，则sinA的取值范围是（）A．23(,)22B．13(,)22C．12(,)22D．2(0,)2例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且2sin3bAa．(1)求角B；(2)求coscoscosABC的最大值．练习6．（2023春·全国·高三专题练习）锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1a，且coscos1bAB，则23sin2sinBA的取值范围为（）A．0,31B．2,31C．1,3D．2,3练习7．（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222sin(2sinsin)AabcabBC．(1)求A；(2)求sinsinBC的取值范围．练习8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,abc分别为ABC的内角,,ABC所对的边，4ABAC，且sin8sinacBA．(1)求A；(2)求sinsinsinABC的取值范围．练习9．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积22234Sacb，则角B______，sinsinAC的最大值为______．练习10．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan2sinaCcA，则sinsinAB的取值范围为______．题型三利用三角函数值域求边的范围例5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且23()()cos3babaacBS．(1)求角A的大小；(2)若23a，求S的取值范围．例6．（2023·全国·高三专题练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsintancoscosCBACB．(1)求A的值；(2)若ABC是锐角三角形，求22bbca的取值范围．练习11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知7b，且sinsinsinsinabACcAB.(1)求ABC的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围.练习12．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且π22,2sin4acAb.(1)求角C；(2)若ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围.练习13．（2023·高三单元测试）在锐角三角形ABC中，222sinsinsin2sinsin,2BCBCBCAC，则AC边上的高的取值范围是（）A．1,22B．1,2C．2,22D．1,2练习14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角ABC中，,,abc分别是角,,ABC所对的边，sinsin2BCcC，且1a.(1)求A；(2)若ABC周长的范围练习15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知()()0abcabcab，sin3cos3cosbcCcAaC．(1)求c；(2)求ab的取值范围．题型四图形切割例7．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在ABC中，13ACD，为ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若1502.ADCAD，(1)求DAC的面积;(2)若120ABC，求BD的长.例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，已知//ADBC，1AD，210BD，π4CAD，tan2ADC，求：(1)CD的长；(2)BCD的面积．练习16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在ABC中，点D在边BC上，sinsinBDCADABBAD(1)证明：ACCD；(2)若2CDBD，1sin4BAD，求cosC.练习17．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中，ABCD∥，3BCAD，2BADBCD．(1)求ABC；(2)若4CD，ABDADB，求四边形ABCD的面积．练习18．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3b，6c，sin2sinCB，且AD为BC边上的中线，AE为BAC的角平分线．(1)求cosC及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．练习19．（2023春·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，若6AB，10BC，12CD，27AD，2coscoscos0ACBACBCBBAB．(1)求B；(2)求证：ACBACD．练习20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高级中学校考期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且ADAC，1sin2DAB，2AB．(1)若2BC，求sinC的值；(2)若BC边上点E满足2BEEC，5π12ADE，求AE．题型五角平分线的应用例9．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在非直角ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsinsin4sincosaAbBcCbBC，CD是角C的内角平分线，且CDb，则tanC等于（）A．378B．37C．18D．13例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知ABC的内角ABC､､所对的边分别为abc､､，且满足2cos2aBcb.(1)求A；(2)若D在BC上，AD是BAC的角平分线，且1AD，求ABCS的最小值.练习21．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考期中）记ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知21cos4bcAa.(1)证明：3bca；(2)若2a，7cos9A，角B的内角平分线与边AC交于点D，求BD的长.练习22．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinABabCbc，若角A的内角平分线AD的长为3，则bc的最小值为（）A．12B．24C．27D．36练习23．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，其中sin3sinCA，60B，7b.若B的角平分线BD交AC于点D，则BD______.练习24．（2023春·全国·高三专题练习）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2bAac.(1)求角B；(2)设ABC的角平分线BD交AC于点D，若2BD，求ABC的面积的最小值.练习25．（2023·全国·高三专题练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S．已知12363SSSac．(1)求cosB；(2)若ABC外接圆面积为9π4，求ac的最大值；(3)若324ac，且ABC的角平分线233BD，求ac．题型六中线的应用例11．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cb，2sin3sin2AC.(1)求sinC；(2)若ABC的面积为67，求AB边上的中线CD的长.例12．（2023春·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点．若23a，7AD，π3A，则ABC的面积为__．练习26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边，且cos3sin0aCaCbc.(1)求A；(2)若中线2AD，求ABC面积的最大值.练习27．（2023春·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在ABC中，已知2,5,60,,ABACBACBCAC边上的两条中线,AMBN相交于点P，则MPN的余弦值为__________.练习28．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知在ABC中，AD为BC边上的中线，且2BD，4AD，则cosBAC的最小值为________．练习29．（2023·全国·模拟预测）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为a，b，c，2ca，点D在线段AC上，设BDt.(1)若BD是ABC的平分线，233ta，求C的大小；(2)若BD是AC边上的中线，7t，π3ABC，求ABC的周长.练习30．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且ABC的面积为22234bca(1)求角A的大小；(2)若3,6,bcAD是ABC的一条中线，求线段AD的长.题型七解三角形的结构不良例13．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在ABC中，D为边BC上一点，23,1,7ABBDAD.(1)求角B；(2)从下面两个条件中选一个，求角