专题6.8 平面向量、复数和解三角形（2021-2023年）真题训练（解析版）

专题6.8平面向量、复数和解三角形真题训练第一部分：平面向量1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)ab，，则abrr（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】先求得ab，然后求得abrr.【详解】因为2,12,44,3ab，所以22435ab.故选：D2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为1,33,413,34ab，所以由abb可得，3134340，解得35．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,,,axybxy，121200ababxxyy，注意与平面向量平行的坐标表示区分．3．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)ambm．若ab，则m______________．【答案】34/0.75【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0abmm，解得34m.故答案为：34.4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,,acbc，则t（）A．6B．5C．5D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：3,4ct,cos,cos,acbc,即931635ttcc,解得5t,故选：C5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A．1B．1C．1D．1【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为1,1,1,1ab，所以1,1ab，1,1ab，由abab可得，0abab，即11110，整理得：1．故选：D．6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a，b满足3ab，2abab，则b______．【答案】3【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令cabrrr，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为2abab，即222abab，则2222244aabbaabbrrrrrrrr，整理得220aab，又因为3ab，即23ab，则22223aabbbrrrrr，所以3b.法二：设cabrrr，则3,2,22cabcbabcbrrrrrrrrr，由题意可得：2222cbcbrrrr，则22224444ccbbccbbrrrrrrrr，整理得：22cbrr，即3bcrr.故答案为：3.7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）A．5B．3C．25D．5【答案】B【分析】方法一：以,ABAD为基底向量表示,ECEDuuuruuur，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以,ABAD为基底向量，可知2,0ABADABADuuuruuuruuuruuur，则11,22ECEBBCABADEDEAADABADuuuruuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuur，所以22111143224ECEDABADABADABADuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur；方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则1,0,2,2,0,2ECD，可得1,2,1,2ECEDuuuruuur，所以143ECEDuuuruuur；方法三：由题意可得：5,2EDECCD，在CDE中，由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDECE，所以3cos5535ECEDECEDDECuuuruuuruuuruuur.故选：B.8．（2021年全国新高考I卷数学试题）（多选）已知O为坐标原点，点1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A．12OPOPB．12APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【答案】AC【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，所以221||cossin1OP，222||(cos)(sin)1OP，故12||||OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossin(sin)cos()OPOP，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP，23coscos()(sin)sin()OPOPcosβαβcosα2β，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得：85.故答案为：85.10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量3,1,1,0,abcakb．若ac，则k________．【答案】103.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】3,1,1,0,3,1abcakbk,,33110acack，解得103k,故答案为：103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量1122,,,pxyqxy垂直的充分必要条件是其数量积12120xxyy.11．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.【答案】32【分析】根据题目条件，利用ab模的平方可以得出答案【详解】∵5ab∴222229225abababb∴32br.故答案为：32.12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB（）A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA，所以2BDDA，即2CDCBCACD，所以CB3232CDCAnm23mn．故选：B．13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44abaabb，又∵||1,||3,|2|3,abab∴91443134abab，∴1ab故选：C.14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．【答案】11【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出ab，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3br，所以1cos1313abab，所以22222221311abbabbabb．故答案为：11．15．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量3,1,2,2ab，则cos,abab（）A．117B．1717C．55D．255【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,,abababab，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)ab，所以5,3,1,1abab，则225334,112abab，51312abab，所以217cos,17342abababababab.故选：B.16．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）向量1,2abc，且0abc，则cos,acbc（）A．15B．25C．25D．45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0abc,所以abc+=-rrr,即2222ababc,即1122abrr,所以0ab.如图,设,,OAaOBbOCc,由题知,1,2,OAOBOCOAB是等腰直角三角形,AB边上的高22,22ODAD,所以232222CDCOOD,13tan,cos310ADACDACDCD,2cos,coscos22cos1acbcACBACDACD23421510.故选:D.17．（2023年新高考天津数学高考真题）在ABC中，60A，1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABaACb，则AE可用,ab表示为_________；若13BFBC，则AEAF的最大值为_________．【答案】1142ab1324【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用,ab表示出AF，结合上一空答案，于是AEAF可由,ab表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E为CD的中点，则0EDEC，可得AEEDADAEECAC，两式相加，可得到2AEADAC，即122AEab，则1142AEab；空2：因为13BFBC，则20FBFC，可得AFFCACAFFBAB，得到22AFFCAFFBACAB，即32AFab，即2133AFab.于是221121