专题7.1 等差数列及求和（解析版）

专题7.1等差数列及求和题型一基本量的计算题型二等差中项及等差数列项的性质题型三等差数列的判定与证明题型四等差数列前n项和的性质题型五求等差数列前n项和的最值题型六根据等差数列前n项和的最值求参数题型七含绝对值的等差数列的前n项和题型八等差数列的简单应用题型一基本量的计算例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，24S，238aa，则na的公差为__________.【答案】2【分析】设na的公差为d，由已知可得出24d，求解即可得出答案.【详解】设na的公差为d，由题意得124aa.则231224aaaad，所以2d.故答案为：2.例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，若3274aaa，则11S（）A．44B．48C．55D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得154ad，故可求11S的值.【详解】设na的公差为d，则112427adad，即154ad，则111115544Sad，故选：A.练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记nS为等差数列na的前n项和．若32410233SSSa且，则36S_______．【答案】666【分析】根据条件列出方程组可求出公差和首项，进而可求结果.【详解】设等差数列na的公差为d，则由32233SS得112(33)3(2)3adad，解得1d，又410Sa，所以11469adad，由1d可得11a，所以3613635363618356662Sad.故答案为：666.练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设nS为等差数列na的前n项和，若152,20aS，则5a（）A．13B．10C．10D．12【答案】B【分析】根据等差数列求和公式求解.【详解】由1555()5(2)52022aaaS,解得510a，故选：B练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，131,18aS，则6S（）A．54B．71C．80D．81【答案】D【分析】设等差数列na的公差为d，根据题意求得5d，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d，因为131,18aS，可得1333318add，解得5d，所以16615615581Sad.故选：D.练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且2123nnnnSSSa，4627aa，434S，则2023是数列na的（）A．第566项B．第574项C．第666项D．第674项【答案】D【分析】由题意可证得数列na是等差数列，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入求解即可求出na的通项公式，令312023n，解方程即可得出答案.【详解】由2123nnnnSSSa，得2112nnnnnSSSSa，即212nnnaaa，所以数列na是等差数列，设公差为d，则由4627aa和434S可得：1172317adad，解得143ad，所以4(1)331nann．由312023n，得n=674．故选：D．练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，若113,2,0mmmSSS，则公差d__________；m__________．【答案】14【分析】根据113,2,0mmmSSS，利用数列通项和前n项和的关系，求得11,,mmaaa即可.【详解】解：因为113,2,0mmmSSS，所以1111,2mmmmmmaSSaSS，所以11mmdaa，所以111102mmmdSma，1122mmmdSma解得1,2ma代入即得14,2ma，故答案为：1，4题型二等差中项及等差数列项的性质例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列na中471018aaa，681027aaa，若21ka，则k_______．【答案】12【分析】根据下标和性质求出7a、8a，即可求出公差d，再根据77kaakd计算可得.【详解】因为471018aaa，又41072aaa，所以76a，又681027aaa，61082aaa，所以89a，所以公差873daa，所以7721kaakd，即63721k，解得12k.故答案为：12例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列na中，若12345120aaaaa，则692aa__________.【答案】24【分析】由等差中项的性质即可求解.【详解】因为在等差数列na中，有152432aaaaa，所以由12345120aaaaa，得35120a，324a，又3962aaa，所以693224aaa.故答案为：24练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列na中，310aa，是方程2350xx的根，则58aa＝________.【答案】3【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.【详解】由310aa，是方程2350xx的根得310aa＝3.又数列na为等差数列，∴58aa＝310aa＝3.故答案为：3练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．【答案】117【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解.【详解】设等差数列na的项数为21n+，1321nSaaa奇＝12112naan＝11nna，2246nSaaaa偶＝222nnaa＝1nna，所以14433SnSn奇偶，解得3n，所以项数217n，1nSSa奇偶，即4443311a为所求中间项．故答案为：①11；②7.练习8．（2023·全国·高三专题练习）设nS为正项等差数列na的前n项和．若20232023S，则4202014aa的最小值为（）A．52B．5C．9D．92【答案】D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得12023420202aaaa且420200,0aa，化简20204420204242020204200204141141()()[5()]22aaaaaaaaaa，结合基本不等式，即可求解.【详解】由等差数列的前n项和公式，可得2023120232023(20223)aaS，可得120232aa，又由12023420202aaaa且420200,0aa，所以242002020204442020420204202042020204414114119()()[5()](52)2222aaaaaaaaaaaaaa，当且仅当2020442020aaaa时，即42020aa时，等号成立，所以4202014aa的最小值为92.故选：D.练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“3752aaa”是“数列na为等差数列”的（）．A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.【详解】设1nnan，则33a，55a，77a，所以375102aaa，但数列na不是等差数列；若数列na为等差数列，根据等差数列的性质可知，3752aaa成立.所以，“3752aaa”是“数列na为等差数列”的必要不充分条件.故选：C.练习10．（2023·全国·高二题练习）记nS为等差数列na的前n项和，若310mnaa，3218mnaa，则11nnSSnn______．【答案】2【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.【详解】由310mnaa①，3218mnaa②，②①得38dd，得4d，又12nnaanS，则12nnSaan，故1111111212222nnnnnnSSaaaaaadnn．故答案为：2题型三等差数列的判定与证明例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列na满足11a，111nnaan.(1)求证：数列2na为等差数列；(2)设22111nnnnnbaaaa，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析(2)111nTn【分析】（1）由题11nnanan，利用累乘法即可求解*Nnann，进而可得2*Nnann，进而可证等差；（2）由（1）得111nbnn，由裂项求和即可求解.【详解】（1）由题可得11nnanan，所以当2n时，3124112321nnnnnaaaaaaaaaaaa2341112321nnnnn，易知11a满足nan，所以*Nnann.所以22111nnaann，所以2na是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得2nan，所以22111111nnnnnbaaaannnn111111nnnnnn.所以1111111122311nTnnn.例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列na中1a4，21122nnnanann，．求证：数列{nan}是等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据等差数列的定义，即可证明.【详解】21122nnnanann的两边同时除以1nn（），得11nnaann2，∴数列{nan}是首项为4，公差为2的等差数列．练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列na满足112a，11nnnaaa.(1)设1nnba，证明：nb是等差数列；(2)设数列nan的前n项和为nS，求nS.【答案】(1)证明见解析(2)1nnSn【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；（2）由（1）可算得111nannn，用裂项相消法即可求解【详解】（1）因为1111111111nnnnnnnnnnabbaaaaaaa所以数列nb是以1为公差的等差数列（2）因为1112ba，所以2(1)11nbnn由11nna得11nan故11111nannnnn所以1212nnaaaSn，1111112231nn1111nnn练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列na前n项和为nS，且211180SS，.(1)若nnSbn，求证：数列nb是等差数列.(2)求数列na的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析(2)2211611606nnnnTnnn，，【分析】（1）由题得关于1,ad的方程，解出得到其通项，并计算出其前n项的和，则得到nb的通项，利用定义计算1nnbb的值即可.（2）分6n和6n讨论即可.【详解】（1