专题8.1 空间几何体的表面积和体积（原卷版）

专题8.1空间几何体的表面积和体积题型一空间几何体的结构特征题型二斜二测画法题型三最短路径题型四空间几何体的表面积题型五空间几何体的体积题型六截面问题题型一空间几何体的结构特征例1．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体1111ABCDABCD中，鳖臑的个数为（）A．48B．36C．24D．12例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（）A．棱柱的侧棱互相平行B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥C．正三棱锥的各个面都是正三角形D．棱台各侧棱所在直线会交于一点练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（）A．三棱柱B．三棱台C．四棱柱D．四棱台练习2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．棱台的侧面都是等腰梯形C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面练习3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥B．球体的截面都是圆面C．正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形D．正三棱锥的四个面都是等边三角形练习4．（2023春·甘肃·高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（）A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形练习5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则sinAOB=（）A．223B．22C．423D．823题型二斜二测画法例3．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，OAB△是OAB的直观图，则OAB是（）A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能例4．（2023·全国·高三专题练习）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形1111OABC，其中116OA，112OC，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）A．6B．46C．42D．210练习6．（2023春·全国·高三专题练习）如图等腰梯形ABCD，ABCD，1AB，2AD，3CD，那么该梯形直观图的面积是______.练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，ABC是ABC的直观图，其中1BOCO，32AO，那么ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定练习8．（2023·全国·高一专题练习）已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，1,3ABDC，2AD，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为__________.练习9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3OA，1OC，则原图形是（）A．面积为62的矩形B．面积为324的矩形C．面积为62的菱形D．面积为324的菱形练习10．（2023春·河南周口·高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A．16B．12C．482D．442题型三最短路径例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（）A．25B．23C．42D．23例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥VABC中，2,2ABBCACVAVBVC，点,MN分别为,VABC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥侧面爬行到点N，求：(1)该三棱锥的体积与表面积；(2)蚂蚁爬行的最短路线长.练习11．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为215km，B是山坡SA上一点，且2kmAB.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______.练习12．（2023·全国·高三专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为（）A．1282π81B．3235π27C．15π3D．833练习13．（2023·四川资阳·统考三模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，12AAAB，D在A1C上，E是A1B的中点，则2ADDE的最小值是（）A．67B．7C．37D．57练习14．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在长方体1AC中，1AB，3BC，13CC，若P为线段1BC上的动点，则1DPPC的最小值为______.练习15．（2023·全国·高三专题练习）长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．题型四空间几何体的表面积例7．（2023·江西·统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）A．1B．2C．5D．5例8．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A．26πmB．263πmC．233πmD．2123πm练习16．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径12cmAB，圆柱体部分的高6cmBC=，圆锥体部分的高4cmCD，则这个陀螺的表面积（单位：2cm）是（）A．1441213πB．1442413πC．1081213πD．1082413π练习17．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22πRB．圆锥的侧面积为22πRC．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:2练习18．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高60cm，上口正方形边长70cm，下口正方形边长54cm，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4cm，高为16cm的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（52.236）（）A．212960cmB．214803cmC．216800cmD．218240cm练习19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知2AB，若该半正多面体的表面积为S，体积为V，则SV为（）A．3395B．33127C．2D．32练习20．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）（多选）已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（）A．12lrrB．12RrrC．1122SVSVD．12SS的最大值为23题型五空间几何体的体积例9．（2023·山东烟台·统考二模）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为3cm、高为4cm的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为2cm、高为4cm的圆柱，则该组件的体积为（）．（单位：3cm）A．48π8B．366πC．164πD．364π例10．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）在RtABC△中，90B，2AB，3CB，将ABC绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为_________.练习21．（2023·北京海淀·校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是18.7cm，内口长cmx，宽7cm，高2.3cm（忽略壁的厚度，取圆周率π3），若手柄的底面半径为1cm，体积为318.6cm，则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（）A．3201.3cmB．3210.5cmC．3202.1cmD．3212.2cm练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度约为（）（单位：cm）A．2.26B．10.45C．4.12D．4.61练习23．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，某圆柱体的高为2，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为25，则该圆柱体的体积是（）A．3B．4πC．32πD．32π练习24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且120ABC，则该圆台的体积为（）A．142π81B．2π3C．522π81D．42π3练习25．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，用一边长为22的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为32π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为______.题型六截面问题例11．（2023·江西·统考模拟预测）已知在长方体1111ABCDABCD中，12ABBBBC，点P，Q，T分别在棱1BB，1CC和AB上，且13BPBP，13CQCQ，3BTAT，则平面PQT截长方体所得的截面形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形例12．（2023·河北唐山·统考二模）正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E，F分别为棱AB，BC的中点，过1D，E，F做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．练习26．（2022·全国·高三专题练习）作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面，截面多边形的边数为______．练习27．（2023·全国·高三专题练习）（多选）用一个平面去截正方体，则截面可能是（）A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P为BC中点，过A，P，1D三点的平面